《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

3. 将边长为 4 的正方形 $ ABCD $ 与边长为 $ 2\sqrt{2} $ 的正方形 $ CEFG $ 按如图 1 所示的位置摆放，连接 $ BG $，$ DE $。
(1) 如图 1，$ BG $ 与 $ DE $ 的关系为$BG = DE,BG\perp DE$。
(2) 如图 2，将正方形 $ CEFG $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转，旋转角为 $ \alpha (0^\circ ＜ \alpha ＜ 360^\circ) $，连接 $ DG $，$ BE $，判断 $ DG^2 + BE^2 $ 是否为定值。若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
$DG^{2} + BE^{2}$是定值.$DG^{2} + BE^{2} = 48$
(3) 当旋转到 $ D $，$ G $，$ E $ 三点共线时，请直接写出此时 $ \alpha $ 的值。
$15^{\circ}$或$255^{\circ}$

答案：
(1)$BG = DE,BG\perp DE$
(2)$DG^{2} + BE^{2}$是定值.$DG^{2} + BE^{2} = 48$
(3)$15^{\circ}$或$255^{\circ}$

4. 如图，已知 $ \angle ABC = \angle ADC = 90^\circ $，$ AD = DC $。求证：$ BC + AB = \sqrt{2}BD $。

答案： 【解析】：
过点$D$作$DE\perp AB$交$BA$的延长线于点$E$，作$DF\perp BC$于点$F$。
因为$\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，$\angle DAE+\angle BAD = 180^{\circ}$，所以$\angle DAE=\angle DCF$。
又因为$AD = DC$，$\angle E=\angle DFC = 90^{\circ}$，所以$\triangle DAE\cong\triangle DCF(AAS)$。
则$DE = DF$，$AE=CF$。
因为$\angle E=\angle ABC=\angle DFB = 90^{\circ}$，所以四边形$DEBF$是矩形，又$DE = DF$，所以四边形$DEBF$是正方形。
所以$BE=BF = BD\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}BD$，$BC + AB=(BF - CF)+(BE + AE)=BE + BF$。
所以$BC + AB=\sqrt{2}BD$。
【答案】：
过点$D$作$DE\perp AB$交$BA$的延长线于点$E$，作$DF\perp BC$于点$F$。
$\because\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\because\angle DAE+\angle BAD = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle DAE=\angle DCF$。
在$\triangle DAE$和$\triangle DCF$中，
$\begin{cases}\angle E=\angle DFC\\\angle DAE=\angle DCF\\AD = DC\end{cases}$
$\therefore\triangle DAE\cong\triangle DCF(AAS)$，
$\therefore DE = DF$，$AE=CF$。
$\because\angle E=\angle ABC=\angle DFB = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$DEBF$是矩形，
又$\because DE = DF$，
$\therefore$四边形$DEBF$是正方形。
$\therefore BE=BF = BD\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}BD$，
$\because BC + AB=(BF - CF)+(BE + AE)$，$AE = CF$，
$\therefore BC + AB=BE + BF=\sqrt{2}BD$。
即证$BC + AB=\sqrt{2}BD$。