《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

6.(2024·泰安)下列图形中，中心对称图形的个数为（C）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

7.(2024·凉山州)点$P(a,-3)$关于原点对称的点是$P'(2,b)$，则$a + b$的值是（A）
A.1
B.$-1$
C.$-5$
D.5

答案： A

8.如图，在平面直角坐标系中，若$\triangle A'B'C'$是由$\triangle ABC$绕点$P$旋转得到的，则点$P$的坐标为$(1,-1)$。

答案： $(1,-1)$

9.(2024·开州区期中)如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，$\triangle ABC$的顶点均在格点(网格线的交点)上，在建立平面直角坐标系后，点$C$的坐标为$(4,-1)$。
(1)以原点$O$为对称中心，画出$\triangle ABC$关于原点$O$对称的$\triangle A_1B_1C_1$，并写出点$C_1$的坐标；
(2)以点$A_1$为旋转中心，画出把$\triangle A_1B_1C_1$逆时针旋转$90^{\circ}$得到的$\triangle A_1B_2C_2$，并写出点$C_2$的坐标；
(3)若$\triangle ABC$绕某点顺时针旋转一定角度可得到$\triangle A_1B_2C_2$，请确定旋转中心点$D$的坐标以及旋转角度。

答案：
(1) 图略，点$C_{1}$的坐标为$(-4,1)$
(2) 图略，点$C_{2}$的坐标为$(2,1)$
(3) 旋转中心点$D$的坐标为$(4,1)$，旋转角度为$90^{\circ}$

10.(2024·宜宾改编)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 3\sqrt{2}$，$AC = 2$，以$BC$为边作$Rt\triangle BCD$，$BC = BD$，点$D$与点$A$在$BC$的两侧，则$AD$的最大值为____8。

答案： 8

11.(2025·巴蜀中学月考节选)已知点$A$，$C$分别在射线$BA$，$BC$上，且$\angle BCA = \angle BAC = \alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$，$D$是$AC$的中点，$E$为直线$BC$上一点，连接$DE$，将线段$DE$绕点$D$顺时针旋转$2\alpha$至$DF$，点$F$在射线$BA$上。
(1)如图1，若$\alpha = 45^{\circ}$，$AB = 5$，求四边形$BFDE$的面积；
(2)如图2，若$0^{\circ}＜\alpha＜45^{\circ}$，过点$C$作$CG// AB$，过点$D$作$DH\perp CG$于点$H$，当点$E$在线段$CB$的延长线上，点$F$在$BA$的延长线上时，求证：$2CH + AF = CE$。

答案： 1. （1）
因为$\angle BCA=\angle BAC = 45^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle B=180^{\circ}-\angle BAC-\angle BCA$，可得$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = BC = 5$。
连接$BD$，因为$D$是$AC$中点，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，所以$BD\perp AC$，$BD = AD=CD$，$\angle ABD=\angle CBD = 45^{\circ}$，$\angle BDE+\angle ADF = 90^{\circ}$。
又因为$\angle EDF = 2\alpha=90^{\circ}$，所以$\angle ADF+\angle FDB = 90^{\circ}$，则$\angle BDE=\angle ADF$。
在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中：
$\left\{\begin{array}{l}BD = AD\\\angle BDE=\angle ADF\\DE = DF\end{array}\right.$（$DE = DF$是旋转得到，$BD = AD$是等腰直角三角形性质）
根据$SAS$（边角边）定理，$\triangle BDE\cong\triangle ADF$。
所以$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ADF}$。
则$S_{四边形BFDE}=S_{\triangle BDF}+S_{\triangle BDE}=S_{\triangle BDF}+S_{\triangle ADF}=S_{\triangle ABD}$。
而$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\times BC=\frac{1}{2}\times5\times5=\frac{25}{2}$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$（$D$是$AC$中点）。
所以$S_{四边形BFDE}=\frac{25}{4}$。
2. （2）
证明：
延长$HD$交$AB$于点$M$。
因为$CG// AB$，$DH\perp CG$，所以$DM\perp AB$。
因为$\angle BCA=\angle BAC=\alpha$，$D$是$AC$中点，所以$BD\perp AC$，$\angle ABD=\angle CBD$，$AM = CH$（可通过证明$\triangle ADM\cong\triangle CDH$，$AAS$：$\left\{\begin{array}{l}\angle AMD=\angle CHD = 90^{\circ}\\\angle ADM=\angle CDH\\AD = CD\end{array}\right.$）。
连接$BD$，由旋转知$DE = DF$，$\angle EDF = 2\alpha$。
因为$\angle BAC=\alpha$，所以$\angle FDB+\angle ADF=\alpha$，又$\angle EDF = 2\alpha$，$\angle EDB+\angle FDB = 2\alpha$，所以$\angle EDB=\angle ADF + \alpha$。
因为$\angle DBC=\alpha$，所以$\angle EDB=\angle DBC+\angle BED$，则$\angle ADF=\angle BED$。
在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BED=\angle ADF\\\angle EBD = 180^{\circ}-\alpha\\\angle FAD = 180^{\circ}-\alpha\\DE = DF\end{array}\right.$
根据$AAS$（角角边）定理，$\triangle BDE\cong\triangle ADF$。
所以$BE = AF$。
因为$CE=CB + BE$，$CB = 2CH$（$M$是$AB$中点，$AB = 2AM$，$AM = CH$，$AB = CB$）。
所以$CE=2CH + AF$。
综上，（1）四边形$BFDE$的面积为$\frac{25}{4}$；（2）证明过程如上述。