《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1.(2025·渝北区月考)如图1,抛物线$y=ax^{2}+bx+3$与x轴相交于$A(-1,0),B(3,0)$两点,与y轴相交于点C.
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)如图2,Q是直线BC上方抛物线上的一个动点,求$\triangle QBC$面积的最大值及此时点Q的坐标.
(3)如图3,已知直线$l:y=3x+9$与x轴、y轴分别相交于点D,E,直线BC与l相交于点F,在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得$∠PBF=∠DFB$?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$y=-x^{2}+2x+3$
(2)$\triangle QBC$面积的最大值为$\frac {27}{8}$，此时$Q(\frac {3}{2},\frac {15}{4})$
(3)存在。$P(-\frac {4}{3},-\frac {13}{9})$

2.(2025·江津区阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$(b,c为常数)与x轴交于$A(1,0)$,B两点,与y轴交于点$C(0,3).$
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图1,在直线BC上方的抛物线上有一个动点M,过点M作$MN⊥x$轴,垂足为N,交直线BC于点D,是否存在点M,使得$MD+\frac {\sqrt {2}}{2}DC$取得最大值?若存在,请求出它的最大值及点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,连接AC,若P是抛物线上的一个动点,且满足$∠PBC+∠ACO=45^{\circ }$,请直接写出点P的坐标.

答案：
(1)$y=-x^{2}-2x+3$
(2)存在点M，使得$MD+\frac {\sqrt {2}}{2}DC$取得最大值，最大值为4，点M的坐标为$(-2,3)$
(3)点P的坐标为$(-2,3)$或$(\frac {2}{3},\frac {11}{9})$