《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

9. 规定$a\otimes b=(a+b)b$.例如,$2\otimes 3=(2+3)×3=15.$
(1)若$2\otimes x=3$,求x的值;
(2)若$(2x+4)\otimes x=7$,求x的值.

答案：
(1) $x_{1}=1, x_{2}=-3$
(2) $x_{1}=1, x_{2}=-\frac{7}{3}$

10. 如果$x^{2}-8x+m=0$可以通过配方写成$(x-n)^{2}=6$的形式,那么$x^{2}+8x+m=0$可以配方成 (D)
A. $(x-n+5)^{2}=1$
B. $(x+n)^{2}=1$
C. $(x-n+5)^{2}=11$
D. $(x+n)^{2}=6$

答案： 1. 首先对$x^{2}-8x + m = 0$进行配方：
$x^{2}-8x+m = 0$，配方可得$(x - 4)^{2}-16 + m = 0$，即$(x - 4)^{2}=16 - m$。
因为$x^{2}-8x + m = 0$可以写成$(x - n)^{2}=6$的形式，所以$n = 4$，$16 - m = 6$，解得$m = 10$。
2. 然后对$x^{2}+8x + m = 0$进行配方：
把$m = 10$代入$x^{2}+8x + m = 0$，得$x^{2}+8x + 10 = 0$。
配方：$x^{2}+8x+16-16 + 10 = 0$，即$(x + 4)^{2}=6$。
又因为$n = 4$，所以$(x + n)^{2}=6$。
综上，答案是D。

11. 若$M=2x^{2}-6x+5,N=x^{2}-4x+3$,则M＞N.(填“＞”“＜”或“=”)

答案： ＞

[变式] 已知$3x-y=3a^{2}-6a+9,x+y=a^{2}+6a-9$,若$x≤y$,则实数a的值为3.

答案： 3

12. 用配方法解下列方程:
(1)$x^{4}-6x^{2}=-8;$
(2)$(y^{2}+1)^{2}+2(y^{2}+1)-8=0.$

答案：
(1) $x_{1}=\sqrt{2}, x_{2}=-\sqrt{2}, x_{3}=2, x_{4}=-2$
(2) $y_{1}=1, y_{2}=-1$

13. 【新考法·阅读理解】(2024·忠县期末)
我们知道,如果实数a,b满足$a^{2}+b^{2}=0$,那么$a=b=0$.利用这种思路,对于$m^{2}-2mn+2n^{2}-6n+9=0$,我们可以求出m,n的值,解法如下:
解:$\because m^{2}-2mn+2n^{2}-6n+9=0,$
$\therefore (m^{2}-2mn+n^{2})+(n^{2}-6n+9)=0,$
即$(m-n)^{2}+(n-3)^{2}=0,$
$\therefore m-n=0,n-3=0,$
$\therefore m=n=3.$
根据上述解法,完成下列问题:
(1)若$x^{2}+y^{2}+8x-2y+17=0$,求$x+3y$的值;
(2)若等腰三角形的两边长a,b满足$a^{2}+b^{2}=6a+8b-25$,求该三角形的周长;
(3)若正整数a,b,c满足不等式$a^{2}+b^{2}+c^{2}+11＜3a+ab+6c$,求$a+b+c$的值.

答案：
(1) -1
(2) 10 或 11
(3) 6