《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1. 用公式法解方程$\sqrt {2}x^{2}+4\sqrt {3}x=2\sqrt {2}$，其中求得$b^{2}-4ac$的值是（D）
A. 16
B. $\pm 4$
C. 32
D. 64

答案： 1.D

2. $x=\frac {-5\pm \sqrt {5^{2}+4×3×1}}{2×3}$是下列哪个一元二次方程的根（D）
A. $3x^{2}+5x+1=0$
B. $3x^{2}-5x+1=0$
C. $3x^{2}-5x-1=0$
D. $3x^{2}+5x-1=0$

答案： 2.D

3. (2024·上海)下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（D）
A. $x^{2}-6x=0$
B. $x^{2}-9=0$
C. $x^{2}-6x+6=0$
D. $x^{2}-6x+9=0$

答案： 3.D

4. 用与教材中相同型号的计算器，依次按键$\sqrt {}$5=，显示结果为2.236067977. 借助显示结果，可以将一元二次方程$x^{2}+x-1=0$的正数解近似表示为0.618.(精确到0.001)

答案： 4.0.618

5. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}=0$没有实数根，则m的取值范围是$m＞\frac {1}{4}$.

答案： 5.$m＞\frac {1}{4}$

[变式1] (2024·南通)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+k=0$有两个不等的实数根.满足题意的k的值为0.(写出一个即可)

答案： 【变式 1】0(答案不唯一)

[变式2] (易错)若关于x的一元二次方程$(k+1)x^{2}-2x+3=0$有实数根，则k的最大整数值是-2.

答案： 【变式 2】-2

[变式3] (2024·九龙坡区指标到校改编)已知方程$(k+3)x^{2}-4x+2=0$有实数根，则k的取值范围是______$k\leqslant - 1$.

答案： 1. 首先，分情况讨论：
当$k + 3=0$，即$k=-3$时：
方程化为$-4x + 2 = 0$，这是一元一次方程，$-4x=-2$，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根。
当$k + 3\neq0$，即$k\neq - 3$时：
方程$(k + 3)x^{2}-4x + 2 = 0$是一元二次方程，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，在方程$(k + 3)x^{2}-4x + 2 = 0$中，$a = k + 3$，$b=-4$，$c = 2$。
因为方程有实数根，所以$\Delta\geqslant0$，即$\Delta=(-4)^{2}-4\times(k + 3)\times2\geqslant0$。
先计算$(-4)^{2}-4\times(k + 3)\times2$：
根据运算顺序，$(-4)^{2}-4\times(k + 3)\times2=16-8(k + 3)$。
展开$16-8(k + 3)$得$16-8k-24$。
进一步化简为$-8k - 8$。
则$-8k - 8\geqslant0$。
移项得$-8k\geqslant8$。
两边同时除以$-8$，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得$k\leqslant - 1$。
2. 然后，综合两种情况：
当$k=-3$时满足条件，当$k\neq - 3$时，$k\leqslant - 1$也满足条件。
所以$k$的取值范围是$k\leqslant - 1$。

6. (2024·重庆实验外国语学校期末改编)若关于x的方程$\frac {3}{4}x^{2}-\sqrt {2}nx+(n-1)=0$有两个相等的实数根，则$6n^{2}-9n+2024$的值为______2015.

答案： 6.2 015

7. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-3x-2=0$；
(2)$2x^{2}+5x+7=0$；
(3)$3x^{2}+1=2\sqrt {3}x$；
(4)$(2x-1)(x+3)=-5$；
(5)$2y(y-1)+3=(y+1)^{2}$.

答案： 7.
(1)$x_{1}=\frac {3+\sqrt {17}}{2},x_{2}=\frac {3-\sqrt {17}}{2}$
(2)原方程无实数根
(3)$x_{1}=x_{2}=\frac {\sqrt {3}}{3}$
(4)$x_{1}=-\frac {1}{2},x_{2}=-2$
(5)$y_{1}=2+\sqrt {2},y_{2}=2-\sqrt {2}$