《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

8. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m-2)x+m^{2}=0$有两个实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最大非零整数时，求方程的根.

答案： 8.
(1)$m≤\frac {1}{2}$
(2)$x_{1}=-2-\sqrt {3},x_{2}=-2+\sqrt {3}$

9. (2024·潍坊)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-mx-n^{2}+mn+1=0$，其中m，n满足$m-2n=3$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（C）
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法确定

答案： 9.C

10. 已知$M=4x^{2}-ax-1$，$N=x-1$(其中a为任意实数)，则关于x的方程$(M+N)^{2}-M-N=2$的实数根的个数为（D）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 10.D

11. (2023·江津区月考)关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} 5x+2＞a,\\ x+14≥3x+6\end{array}\right. $有且仅有3个整数解，且关于x的一元二次方程$x^{2}-(2a-1)x+a^{2}-8=0$没有实数根，则所有符合条件的整数a的和为30.

答案： 11.30

12. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+m-1=0$有两个实数根，设p是方程的一个实数根，且满足$(p^{2}-2p+3)(m+4)=7$，则m的值为-3.

答案： 12.-3

13. 已知▱ABCD的两邻边AB，BC的长是关于x的一元二次方程$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}=0$的两个实数根.
(1)试说明：无论m取何值，方程总有两个实数根.
(2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长.
(3)若AB的长为2，则▱ABCD的周长是多少？

答案： $(1)$ 证明方程总有两个实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$中，$a = 1$，$b=-m$，$c=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$。
则$\Delta = (-m)^{2}-4\times1\times(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})$
$=m^{2}-2m + 1$
$=(m - 1)^{2}$。
因为$(m - 1)^{2}\geq0$，即$\Delta\geq0$，所以无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
$(2)$ 求$m$的值和菱形的边长
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = BC$。
对于一元二次方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$，当$AB = BC$时，$\Delta=(m - 1)^{2}=0$，解得$m = 1$。
把$m = 1$代入方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$，得$x^{2}-x+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=0$，即$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$。
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab + b^2$，方程可化为$(x-\frac{1}{2})^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。
所以当$m = 1$时，四边形$ABCD$是菱形，此时菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
$(3)$ 求平行四边形$ABCD$的周长
把$x = 2$代入方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$，得$2^{2}-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$。
即$4-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$，通分得到$\frac{16}{4}-\frac{8m}{4}+\frac{2m}{4}-\frac{1}{4}=0$。
合并同类项得$\frac{16 - 8m+2m - 1}{4}=0$，即$\frac{15 - 6m}{4}=0$，则$15-6m = 0$，解得$m=\frac{5}{2}$。
把$m=\frac{5}{2}$代入原方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$，得$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=0$，即$x^{2}-\frac{5}{2}x + 1 = 0$。
由韦达定理$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$（$a = 1$，$b=-\frac{5}{2}$），所以$AB + BC=\frac{5}{2}$。
因为平行四边形$ABCD$的周长$C = 2(AB + BC)$，所以$C=2\times\frac{5}{2}=5$。
综上，答案依次为：$(1)$ 证明见上述过程；$(2)$ $m = 1$，边长为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；$(3)$ $\boldsymbol{5}$。