《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

3.(2024·重庆A卷改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+4(a≠0)$经过点$(-1,6)$,与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧),连接$AC,BC$,已知$OC=4OB$.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)$P$是射线$CA$上方抛物线上的一个动点,过点$P$作$PE⊥x$轴,垂足为$E$,交$AC$于点$D$,$M$是线段$DE$上的一个动点,$MN⊥y$轴,垂足为$N$,$F$为线段$BC$的中点,连接$AM,NF$.当线段$PD$长度取得最大值时,求$AM+MN+NF$的最小值.

答案：
(1) $ y = -x^2 - 3x + 4 $
(2) $ 2 + \frac{\sqrt{41}}{2} $

4.(2025·九龙坡区期中节选)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于$A(-1,0),B(4,0)$两点,与$y$轴交于点$C(0,2)$.
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)$P$是直线$BC$上方抛物线上的一个动点,连接$PC,PB$,$M$为$x$轴上的一个动点,$N$为$y$轴上的一个动点,连接$PM,PN,MN$.当$\triangle PBC$的面积取得最大值时,求点$P$的坐标及此时$PM+MN+PN$的最小值.

答案：
(1) $ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 2 $
(2) $ P(2, 3) $，$ PM + PN + MN $ 的最小值为 $ 2\sqrt{13} $