《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

9.如图所示，下列 4 个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有 (C)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： C

10.如图，将等腰三角形纸片 ABC 沿着底边 BC 上的高 AD 剪成两个三角形，将这两个三角形拼成一个平行四边形.若$BC=2,AD=3$，则拼成的所有平行四边形中，对角线的最大长度是$\sqrt{37}$.

答案： $\sqrt{37}$

11.如图，在网格中有一个四边形图案.
(1)请你分别画出$△ABC$绕点 O 顺时针旋转$90^{\circ }$得到的$△A_{1}B_{1}C_{1}$、关于点 O 成中心对称的$△A_{2}B_{2}C_{2}$以及绕点 O 逆时针旋转$90^{\circ }$得到的$△A_{3}B_{3}C_{3}$，并将它们涂黑；
(2)若网格中每个小正方形的边长均为 1，旋转后点 A 的对应点依次为$A_{1},A_{2},A_{3}$，求四边形$AA_{1}A_{2}A_{3}$的面积；

(3)利用(1)中的图案能够说明一个著名结论的正确性，请用数学语言描述这个结论，并借助图案完成其证明过程.

答案： $(1)$ 画图
根据旋转和中心对称的性质画图（由于是文字描述，这里无法实际画出图形，你可根据规则自行绘制：
对于绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$：将$A$、$B$、$C$各点与$O$相连，然后将线段$OA$、$OB$、$OC$绕$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$OA_1$、$OB_1$、$OC_1$，连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$得到$\triangle A_1B_1C_1$。
对于关于点$O$成中心对称：将$A$、$B$、$C$各点与$O$相连并延长，使$OA_2 = 2OA$（$OB_2 = 2OB$、$OC_2 = 2OC$），连接$A_2B_2$、$B_2C_2$、$C_2A_2$得到$\triangle A_2B_2C_2$。
对于绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$：将$A$、$B$、$C$各点与$O$相连，然后将线段$OA$、$OB$、$OC$绕$O$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$OA_3$、$OB_3$、$OC_3$，连接$A_3B_3$、$B_3C_3$、$C_3A_3$得到$\triangle A_3B_3C_3$。最后将这三个三角形涂黑。
$(2)$ 求四边形$AA_{1}A_{2}A_{3}$的面积
解：
由图可知$OA = OA_1=OA_2 = OA_3$，且$\angle AOA_1=\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\angle A_3OA = 90^{\circ}$，所以四边形$AA_{1}A_{2}A_{3}$是正方形。
已知网格中每个小正方形边长为$1$，根据勾股定理$OA=\sqrt{3^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}$。
根据正方形面积公式$S = a^{2}$（$a$为边长），这里$a = OA_1+OA = 6\sqrt{2}$（$AA_{1}A_{2}A_{3}$的边长是$OA$绕$O$旋转$90^{\circ}$后$OA$与$OA_1$组成的线段长度，$OA = OA_1=3\sqrt{2}$），所以$S_{四边形AA_{1}A_{2}A_{3}}=(6\sqrt{2})^{2}= 36$。
$(3)$ 描述结论并证明
结论**：勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，若直角三角形的两条直角边长度分别是$a$和$b$，斜边长度是$c$，那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
证明**：
设$AB = a$，$BC = b$，$AC = c$。
由图可知$S_{四边形AA_{1}A_{2}A_{3}}=(a + b)^{2}$，同时$S_{四边形AA_{1}A_{2}A_{3}}=4\times\frac{1}{2}ab + c^{2}$。
因为$(a + b)^{2}=4\times\frac{1}{2}ab + c^{2}$，展开$(a + b)^{2}$得$a^{2}+2ab + b^{2}=2ab + c^{2}$，两边同时减去$2ab$，可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即证得勾股定理。
综上，$(2)$中四边形$AA_{1}A_{2}A_{3}$的面积为$\boldsymbol{36}$。

12.有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块(如图 1 所示)，可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给$6×6$的正方形拼图盒中.图 2 是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图 4、图 5 是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少如图 3 所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图 3 中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图 2 在相应图中的空白处画出图 3 中的五个图形块，补全图形.

(1)第一关：完成图 4 中的图案；
(2)第二关：完成图 5 中的图案.

答案：
解:
(1)如图1所示.
　　　
(2)如图2所示.(答案不唯一)