《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

13.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
(1)[操作发现]如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在边AB上时：
①线段DE与AC的位置关系是DE//AC；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是S₁=S₂.
(2)[猜想论证]当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中边BC，CE上的高，请你证明小明的猜想.
证明：由旋转的性质，得BC=CE，AC=DC．
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM．
在△ACN和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ACN = \angle DCM, \\ \angle N = \angle CMD = 90^{\circ}, \\ AC = DC, \end{array}\right.$
∴△ACN≌△DCM(AAS)，∴AN=DM．
∵S₁=$\frac{1}{2}$BC·DM，S₂=$\frac{1}{2}$CE·AN，∴S₁=S₂．
(3)[拓展探究]如图4，已知∠ABC=60°，D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E.若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长.
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$

答案： 解：
(1) ① $DE // AC$ ② $S_{1} = S_{2}$
(2) 证明：由旋转的性质，得 $BC = CE$，$AC = DC$．
$\because \angle ACN + \angle BCN = 90^{\circ}$，$\angle DCM + \angle BCN = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACN = \angle DCM$．
在 $\triangle ACN$ 和 $\triangle DCM$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ACN = \angle DCM, \\ \angle N = \angle CMD = 90^{\circ}, \\ AC = DC, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACN \cong \triangle DCM(AAS)$，$\therefore AN = DM$．
$\because S_{1} = \frac{1}{2}BC \cdot DM$，$S_{2} = \frac{1}{2}CE \cdot AN$，$\therefore S_{1} = S_{2}$．
(3) $BF$ 的长为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{8\sqrt{3}}{3}$