《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”其大意是长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步.设宽为x步，根据题意列方程正确的是（D）
A. $2x + 2(x + 12) = 864$
B. $x^{2} + (x + 12)^{2} = 864$
C. $x(x - 12) = 864$
D. $x(x + 12) = 864$

答案： D

2. 如图，有一块长16m、宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m².设石子路的宽度为x m，则下面所列方程正确的是（B）

A. $(16 - x)(8 - x) + x^{2} = 105$
B. $(16 - x)(8 - x) = 105$
C. $(16 - 2x)(8 - x) + x^{2} = 105$
D. $(16 - 2x)(8 - x) = 105$

答案： B

[变式] 如图，世纪广场有一块矩形绿地，$AB = 18m$，$AD = 15m$.如果在绿地上开辟三条宽为x m的道路后，剩余绿地的面积为144m²，那么$x =$3.

答案： 3

3. (教材P25复习题T8变式)(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15m²，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为（C）

A. 5m或6m
B. 2.5m或3m
C. 5m
D. 3m

答案： C

4. (2024·青岛)如图，某小区要在长为16m、宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽为2m.

答案： 2

5. 如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把$\triangle ABC$沿着AD方向平移，得到$\triangle A'B'C'$.若$\triangle A'B'C'$与$\triangle ADC$重叠部分的面积为4cm²，则$\triangle ABC$平移的距离$A'A$为2 cm.

答案： 2 cm

6. (2025·丰都月考)某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).
(1)若要建的矩形养鸡场的面积为90m²，求养鸡场的长(AB)和宽(BC).
(2)该扶贫单位想要建一个100m²的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由.

答案： 1. （1）
设$BC = xm$，则$AB=(33 - 3x)m$。
根据矩形面积公式$S = AB\times BC$，已知$S = 90m^{2}$，可得方程$x(33 - 3x)=90$。
展开方程：
$33x-3x^{2}=90$，移项化为标准的一元二次方程形式$3x^{2}-33x + 90 = 0$，两边同时除以$3$得$x^{2}-11x + 30 = 0$。
分解因式：
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，对于$x^{2}-11x + 30 = 0$，其中$a=-5$，$b = - 6$，则$(x - 5)(x - 6)=0$。
所以$x-5 = 0$或$x - 6 = 0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=6$。
当$x = 5$时：
$AB=33-3x=33 - 3\times5=33 - 15 = 18m$，因为墙长$15m$，$18\gt15$，不符合题意，舍去。
当$x = 6$时：
$AB=33-3x=33 - 3\times6=33 - 18 = 15m$。
所以养鸡场的长$AB = 15m$，宽$BC = 6m$。
2. （2）
设$BC = ym$，则$AB=(33 - 3y)m$，根据面积公式$S = AB\times BC$，若$S = 100m^{2}$，则$y(33 - 3y)=100$。
展开方程：
$33y-3y^{2}=100$，移项化为标准的一元二次方程形式$3y^{2}-33y + 100 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 3$，$b=-33$，$c = 100$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
计算$\Delta=(-33)^{2}-4\times3\times100=1089 - 1200=-111\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
所以该扶贫单位想要建一个$100m^{2}$的矩形养鸡场，这一想法不能实现。
综上，（1）养鸡场的长$AB = 15m$，宽$BC = 6m$；（2）不能实现，理由是根据面积列出的一元二次方程无实数根。