《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1. 一个某种细胞经过两轮分裂后，共有$a$个细胞，设每轮分裂中，一个细胞平均分裂成$n$个细胞，那么可列方程为（B）
A. $n^{2}=a$
B. $(1+n)^{2}=a$
C. $1+n+n^{2}=a$
D. $n+n^{2}=a$

答案： B

2. 某人患了流感，经过两轮传染后共有$36$人患了流感.设每一轮传染中，平均每人传染了$x$人，则可得到方程（C）
A. $x+(1+x)=36$
B. $2(1+x)=36$
C. $1+x+x(1+x)=36$
D. $1+x+x^{2}=36$

答案： C

3. 已知一个两位数等于它个位上数字的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小$3$，则这个两位数为（B）
A. $25$
B. $25$或$36$
C. $36$
D. $-25$或$-36$

答案： B

4. （2025·重庆南开中学期中改编）某网球赛采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场.现计划安排$28$场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设共有$x$名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为$\frac{1}{2}x(x - 1) = 28$.

答案： $\frac{1}{2}x(x - 1) = 28$

5. （2024·大渡口区二模改编）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两名同学均互赠一张，最终赠送卡片共$1892$张，则全班共有44名同学.

答案： 44

6. 已知一个两位数十位上的数字比个位上的数字的平方小$9$，若把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小$27$，则原来的两位数是74.

答案： 74

7. （2023·渝北区期中）某种病毒传播速度非常快，开始有$4$人被感染，经过两轮传播后，共有$256$人感染该病毒.若每轮传播的速度相同.
（1）求每轮平均每人传染的人数；
（2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播速度减少到原来的$50\%$，求第三轮传播后新增感染人数.

答案：
(1) 7
(2) 896

（1）若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数为7.
（2）某同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为该同学的说法正确吗？请说明理由.
不正确，理由：假设多边形有10条对角线，根据公式可列方程$\frac{1}{2}n(n - 3)=10$，整理得$n^{2}-3n - 20 = 0$，解得$n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$，因为$n$应为大于或等于3的正整数，而$\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$不是正整数，所以该同学的说法不正确。

答案： $(1)$求边数
已知$n$（$n\geqslant3$）边形对角线条数公式为$\frac{1}{2}n(n - 3)$，若对角线有$14$条，则可列方程：
$\frac{1}{2}n(n - 3)=14$
整理得：$n^{2}-3n - 28 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），这里$a = 1$，$b = - 3$，$c = - 28$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\times1\times(-28)=9 + 112 = 121$。
则$n=\frac{3\pm\sqrt{121}}{2}=\frac{3\pm11}{2}$，
$n_{1}=\frac{3 + 11}{2}=7$，$n_{2}=\frac{3-11}{2}=-4$。
因为$n\geqslant3$，所以$n=-4$舍去，故这个多边形边数为$7$。
$(2)$判断说法是否正确
假设多边形有$10$条对角线，根据公式列方程$\frac{1}{2}n(n - 3)=10$。
整理得：$n^{2}-3n - 20 = 0$。
对于一元二次方程$n^{2}-3n - 20 = 0$，其中$a = 1$，$b = - 3$，$c = - 20$，判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\times1\times(-20)=9 + 80 = 89$。
根据求根公式$n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$。
因为$n$表示多边形边数，$n$应为大于或等于$3$的正整数，而$\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$不是正整数，所以该同学说法**不正确**。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{7}$；$(2)$不正确，理由：假设多边形有$10$条对角线，列方程$\frac{1}{2}n(n - 3)=10$，整理得$n^{2}-3n - 20 = 0$，解得$n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$，$n$不是正整数，所以该同学说法不正确。