《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

8. 已知抛物线$y=-\frac{1}{2}x²+\frac{3}{2}x+2$与x轴交于B，C两点(点B在点C的左侧)，与y轴交于点A.
(1) 判断△ABC的形状，并说明理由.
(2) 设P(m，n)是抛物线上第一象限内的一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求使S有最大值时点P的坐标和△QHC的面积.

答案： 1. （1）判断$\triangle ABC$的形状：
首先求$A$，$B$，$C$的坐标：
对于抛物线$y =-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$，当$x = 0$时，$y=2$，所以$A(0,2)$。
当$y = 0$时，$-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2 = 0$，即$x^{2}-3x - 4 = 0$。
分解因式得$(x + 1)(x - 4)=0$，解得$x=-1$或$x = 4$。
因为点$B$在点$C$左侧，所以$B(-1,0)$，$C(4,0)$。
然后根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$求边长：
$AB=\sqrt{(0 + 1)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$；
$AC=\sqrt{(0 - 4)^{2}+(2 - 0)^{2}}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
$BC=\vert4-(-1)\vert = 5$。
最后根据勾股定理逆定理判断形状：
因为$AB^{2}+AC^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=5 + 20 = 25$，$BC^{2}=25$。
所以$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$。
2. （2）求$S$关于$m$的函数解析式及相关值：
先求直线$AC$的解析式：
设直线$AC$的解析式为$y=kx + b$，把$A(0,2)$，$C(4,0)$代入得$\begin{cases}b = 2\\4k + b = 0\end{cases}$。
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$，所以$y=-\frac{1}{2}x + 2$。
因为$P(m,n)$在抛物线上，所以$n=-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m + 2$，$Q(m,-\frac{1}{2}m + 2)$。
计算$S$：
$S=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle APC}$。
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\times OA\times OC=\frac{1}{2}\times2\times4 = 4$。
$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}\times PQ\times OC$，$PQ=(-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m + 2)-(-\frac{1}{2}m + 2)=-\frac{1}{2}m^{2}+2m$。
所以$S = 4+\frac{1}{2}\times4\times(-\frac{1}{2}m^{2}+2m)=4 - m^{2}+4m=-m^{2}+4m + 4$，$(0\lt m\lt4)$。
求$S$的最大值：
对于二次函数$S=-m^{2}+4m + 4=-(m - 2)^{2}+8$，因为$a=-1\lt0$，所以当$m = 2$时，$S$有最大值$8$。
当$m = 2$时，$n=-\frac{1}{2}\times2^{2}+\frac{3}{2}\times2 + 2=-2 + 3+2 = 3$，所以$P(2,3)$。
求$\triangle QHC$的面积：
当$m = 2$时，$Q(2,-\frac{1}{2}\times2 + 2)=Q(2,1)$，$HC=4 - 2 = 2$。
$S_{\triangle QHC}=\frac{1}{2}\times QH\times HC$，$QH = 1$，所以$S_{\triangle QHC}=\frac{1}{2}\times1\times2 = 1$。
综上，（1）$\triangle ABC$是直角三角形，理由见上述过程；（2）$S=-m^{2}+4m + 4(0\lt m\lt4)$，$S$有最大值时$P(2,3)$，$S_{\triangle QHC}=1$。

9. 如图，已知抛物线$y=\frac{1}{2}x²-\frac{3}{2}x-2$与x轴分别交于点A，B，与y轴的负半轴交于点C，连接BC，P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设△PBC的面积为S.若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有（C）
A. 4个
B. 7个
C. 11个
D. 14个

答案： C

10. (2024·开州区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC=4，D是线段CB上的一点(不与点C，B重合)，连接AD，过点B，D分别作AB，AD的垂线，两线相交于点E，则△BDE面积的最大值为______2.

答案： 2

11. (2025·北碚区阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，点P从点B出发在射线BC上运动，速度为1cm/s，点Q从点C出发在线段CA上运动，速度为2cm/s.若点P，Q分别从点B，C同时出发，点Q运动到点A停止，设运动时间为t s.
(1) 当t为何值时，P，Q两点之间的距离为$2\sqrt{5}cm？当 $ t = 1 $ 时，$ P $，$ Q $ 两点之间的距离为 $ 2\sqrt{5}cm $(2) $若点P在线段BC上运动，当t为何值时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？当 $ t = \frac{5}{2} $ 时，四边形 $ BPQA $ 的面积最小，最小面积是 $ \frac{95}{4}cm^2 $

答案：
(1) 当 $ t = 1 $ 时，$ P $，$ Q $ 两点之间的距离为 $ 2\sqrt{5}cm $
(2) 当 $ t = \frac{5}{2} $ 时，四边形 $ BPQA $ 的面积最小，最小面积是 $ \frac{95}{4}cm^2 $