《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

12. 【数学探究活动】
[问题背景]
若$\alpha ,\beta $为一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根,则$\alpha +\beta =-\frac {b}{a},\alpha \beta =\frac {c}{a}$,这就是一元二次方程的根与系数的关系.利用该结论,不解方程便可以求一元二次方程的两根之和与两根之积.例如,$2x^{2}+x-3=0$的两个根分别为$\alpha ,\beta $,则$\alpha +\beta =-\frac {b}{a}=-\frac {1}{2},\alpha \beta =\frac {c}{a}=-\frac {3}{2}$.
[引发思考]
(1) 小聪同学喜爱思考,他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积,还可以求解两根的倒数和.不解方程,求一元二次方程$2x^{2}+x-3=0$的两个根的倒数和.
[深入探究]
(2) 小明同学酷爱数学,他进一步研究根与系数的关系时,发现了一种解一元二次方程的新方法.例如,解方程:$2x^{2}-3x-7=0$.
解: $\because a=2,b=-3,c=-7$,
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac {b}{a}=\frac {3}{2},x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=-\frac {7}{2}$.
设$x_{1}=\frac {3}{4}+k,x_{2}=\frac {3}{4}-k$,则$x_{1}x_{2}=(\frac {3}{4}+k)(\frac {3}{4}-k)=-\frac {7}{2}$,即$\frac {9}{16}-k^{2}=-\frac {7}{2}$,解得$k=\pm \frac {\sqrt {65}}{4}$,
$\therefore$ 原方程的解为$x_{1}=\frac {3}{4}+\frac {\sqrt {65}}{4},x_{2}=\frac {3}{4}-\frac {\sqrt {65}}{4}$.
请利用小明的方法解方程$3x^{2}-4x-2=0$.
[类比拓展]
(3) 小睿同学善于发现,他对三次方程$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a≠0)$的根与系数的关系作了探究,将该方程两边同时除以$a$可得$x^{3}+\frac {b}{a}x^{2}+\frac {c}{a}x+\frac {d}{a}=0$.若该方程的三个根分别为$\alpha ,\beta ,\gamma $,则$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=0$,将其展开后为$x^{3}-(\alpha +\beta +\gamma )x^{2}+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )x-\alpha \beta \gamma =0$,于是$\alpha +\beta +\gamma =-\frac {b}{a},\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =\frac {c}{a},\alpha \beta \gamma =-\frac {d}{a}$.若三次方程$x^{3}-x^{2}-3x-10=0$的三个根分别为$\alpha ,\beta ,\gamma $,且$\mu =-\alpha +\beta +\gamma $,请先说明$\mu +2\alpha =1$,再直接(不必书写过程)写一个三次方程,且使得该三次方程的三个根分别为$-\alpha +\beta +\gamma ,\alpha -\beta +\gamma ,\alpha +\beta -\gamma $.

答案： 12.解：
(1)$\frac{1}{3}$
(2)$x_{1}=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}$，$x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3}$
(3)$\because$三次方程$x^{3}-x^{2}-3x-10=0$的三个根分别为$\alpha$，$\beta$，$\gamma$，且$\mu=-\alpha+\beta+\gamma$，
$\therefore$由根与系数的关系可得，
$\alpha+\beta+\gamma=1$，$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=-3$，$\alpha\beta\gamma=10$，
$\therefore\mu+2\alpha=(-\alpha+\beta+\gamma)+2\alpha=\alpha+\beta+\gamma=1$。
新方程为$x^{3}-x^{2}-13x+93=0$。