《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

9. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 45^{\circ}$，$AD\perp BC$于点$D$，$BE\perp AC$于点$E$，交$AD$于点$F$，将线段$AC$绕点$C$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$GC$，连接$BG$。
（1）求证：$BF = AC$；
（2）若$AC=\sqrt{5}$，$BD = 2CD$，求线段$BG$的长。

答案： 1. （1）证明：
因为$AD\perp BC$，$BE\perp AC$，所以$\angle BDF=\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle BEC=\angle ADC = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BFD=\angle AFE$（对顶角相等），根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle DBF=\angle DAC$。
已知$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABD$是等腰直角三角形，那么$AD = BD$。
在$\triangle BDF$和$\triangle ADC$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BDF=\angle ADC\\BD = AD\\\angle DBF=\angle DAC\end{array}\right.$
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle BDF\cong\triangle ADC$。
所以$BF = AC$。
2. （2）解：
设$CD=x$，因为$BD = 2CD$，所以$BD = 2x$。
由（1）知$\triangle ABD$是等腰直角三角形，$AD = BD = 2x$，$AC=\sqrt{5}$，在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，即$(\sqrt{5})^{2}=(2x)^{2}+x^{2}$。
化简得$5 = 4x^{2}+x^{2}$，也就是$5x^{2}=5$，解得$x = 1$（$x=-1$舍去）。
所以$CD = 1$，$BD = 2$，$BC=BD + CD=3$。
因为线段$AC$绕点$C$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$GC$，所以$AC = GC=\sqrt{5}$，$\angle ACG = 90^{\circ}$。
又因为$\triangle BDF\cong\triangle ADC$，所以$BF = AC$，$AC = GC$，则$BF = GC$。
因为$\angle BCG=\angle BCA+\angle ACG$，$\angle BFD=\angle AFE$，$\angle AEF=\angle ADC = 90^{\circ}$，可得$\angle FBD=\angle CAD$，$\angle BCA+\angle CAD = 90^{\circ}$，$\angle ACG = 90^{\circ}$，所以$\angle FBD+\angle BCA+\angle ACG=\angle BCG+\angle FBD=90^{\circ}+\angle BCA+\angle FBD$，又因为$\angle FBD=\angle CAD$，$\angle BCA+\angle CAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BCG+\angle FBD = 180^{\circ}-\angle BEC=90^{\circ}$（$\angle BEC = 90^{\circ}$），$\angle BCG = 90^{\circ}+\angle BCA$，$\angle FBD+\angle BCA = 90^{\circ}$，所以$\angle FBC+\angle BCG=90^{\circ}$（$\angle FBC=\angle FBD$），$\angle BCG = 90^{\circ}+\angle BCA$，$\angle FBC+\angle BCA = 90^{\circ}$，$\angle FBC+\angle BCG=\angle FBC + 90^{\circ}+\angle BCA=180^{\circ}$，$\angle BCG-\angle BCA = 90^{\circ}$，$\angle FBC=\angle BCA$（由$\triangle BDF\cong\triangle ADC$）不成立，重新分析：
因为$\angle ACG = 90^{\circ}$，$\angle BCD$为锐角，$\angle BCG=\angle BCD + 90^{\circ}$，$\triangle BDF\cong\triangle ADC$，$BF = AC$，$AC = GC$，所以$BF = GC$。
过$G$作$GH\perp BC$交$BC$延长线于$H$。
因为$\angle ACG = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle HCG=90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，所以$\angle CAD=\angle HCG$。
又$AC = GC$，$\angle ADC=\angle H = 90^{\circ}$，所以$\triangle ADC\cong\triangle CHG(AAS)$。
则$CH = AD = 2$，$GH = CD = 1$。
$BH=BC + CH=3 + 2=5$。
在$Rt\triangle BGH$中，根据勾股定理$BG=\sqrt{BH^{2}+GH^{2}}$。
把$BH = 5$，$GH = 1$代入可得$BG=\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{25 + 1}=\sqrt{26}$。
综上，（1）得证$BF = AC$；（2）$BG$的长为$\sqrt{26}$。

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle CAB = 20^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$50^{\circ}$得到$\triangle AB'C'$，连接$CC'$，$BB'$。有以下结论：①$BC = B'C'$；②$AC// C'B'$；③$C'B'\perp BB'$；④$\angle ABB'=\angle ACC'$。其中正确的有（B）

A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④

答案： B

11. （2024·大庆改编）如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 10$，$BC = 6$，$M$是$AB$边的中点，$N$是$AD$边上任意一点，将线段$MN$绕点$M$顺时针旋转$90^{\circ}$，点$N$旋转到点$N'$，则$\triangle MBN'$的周长的最小值为$5 + 5\sqrt{5}$。

答案： $5 + 5\sqrt{5}$

12. （2024·北京）已知$\angle MAN=\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜45^{\circ})$，点$B$，$C$分别在射线$AN$，$AM$上，将线段$BC$绕点$B$顺时针旋转$180^{\circ}-2\alpha$得到线段$BD$，过点$D$作$AN$的垂线交射线$AM$于点$E$。
（1）如图1，当点$D$在射线$AN$上时，求证：$C$是$AE$的中点；
（2）如图2，当点$D$在$\angle MAN$内部时，作$DF// AN$，交射线$AM$于点$F$，用等式表示线段$EF$与$AC$之间的数量关系，并证明。

答案： $(1)$ 证明$C$是$AE$的中点
解（证明）：
已知线段$BC$绕点$B$顺时针旋转$180^{\circ}-2\alpha$得到线段$BD$，当点$D$在射线$AN$上时，$\angle CBD = 180^{\circ}-2\alpha$，$\angle MAN=\alpha$。
因为$\angle ACB$是$\triangle BCD$的外角，所以$\angle ACB=\angle CDB+\angle CBD\div2$（等腰三角形性质，$BC = BD$），$\angle CDB=\angle ACB-\alpha$。
又因为$ED\perp AN$，$\angle A = \alpha$，$\angle EDA = 90^{\circ}$，所以$\angle AED=90^{\circ}-\alpha$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 180^{\circ}-\alpha-\angle ACB$，$\angle EBD = 180^{\circ}-\angle CBD-\angle ABC= \alpha$，则$\angle E = \angle ECB$（等角对等边），所以$AC = CE$，即$C$是$AE$的中点。
$(2)$ 求线段$EF$与$AC$之间的数量关系并证明
解（证明）：
数量关系为$EF = 2AC$。
过点$B$作$BG\perp AM$于点$G$。
因为$DF// AN$，所以$\angle AFD+\angle A=180^{\circ}$，$\angle A=\alpha$，则$\angle AFD = 180^{\circ}-\alpha$。
由旋转知$BC = BD$，$\angle CBD=180^{\circ}-2\alpha$，所以$\angle BCD=\angle BDC=\alpha$。
因为$DF// AN$，所以$\angle FDB=\angle DBN$，$\angle A=\alpha$，$\angle ABG = 90^{\circ}-\alpha$。
又因为$ED\perp AN$，$BG\perp AM$，可证$\triangle BCG\cong\triangle BDF$（$AAS$或$ASA$，根据角的关系和$BC = BD$）。
由$(1)$中思路可推得$AC = CF$（通过证明三角形中的角相等，得到边相等关系），所以$EF=EC + CF$，又因为$AC = CE$（类似$(1)$中证明$\angle E=\angle ECA$），所以$EF = 2AC$ 。
综上，$(1)$得证$C$是$AE$中点；$(2)$线段$EF$与$AC$的数量关系为$\boldsymbol{EF = 2AC}$。