《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

11. (2024·巴中)若二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a ＞ 0 ) $ 的图象向右平移 1 个单位长度后关于 $ y $ 轴对称，则下列结论正确的是______。(填序号)
① $ \frac { b } { a } = 2 $；②当 $ \frac { 3 } { 2 } \leq a \leq \frac { 5 } { 2 } $ 时，代数式 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 5 b + 8 $ 的最小值为 3；③对于任意实数 $ m $，不等式 $ a m ^ { 2 } + b m - a + b \geq 0 $ 一定成立；④ $ P ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $，$ Q ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $ 为该二次函数图象上的任意两点，且 $ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $，当 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } + 2 ＞ 0 $ 时，一定有 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $。
①③④

答案： ①③④

12. (2025·北碚区阶段练习)如图，在长方形 $ A B C D $ 中，$ A B = 16 $，$ A D = 6 $，点 $ P $ 从点 $ C $ 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 $ C \to D $ 运动，点 $ Q $ 从点 $ D $ 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 $ D \to A \to B $ 运动，当点 $ P $ 到达终点 $ D $ 时，点 $ Q $ 也随之停止运动。设点 $ P $ 的运动时间为 $ x $ 秒，$ \triangle D P Q $ 的面积为 $ y $。
(1) 请直接写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式，并注明自变量 $ x $ 的取值范围。
(2) 在给定的平面直角坐标系中画出函数 $ y $ 的图象，并写出该函数的一条性质。
(3) 结合函数 $ y $ 的图象，请直接写出该函数图象与直线 $ y = k x + 16 $ 有两个交点时 $ k $ 的取值范围。

答案：
(1)$y=\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+8x(0≤x≤6),\\ -6x+48(6＜x≤8)\end{array}\right. $
(2)函数y的图象略
性质:当$0≤x≤4$时,y随x的增大而增大(答案不唯一)
(3)$-2≤k＜0$

13. (2025·巴南区月考改编)如图，抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A, B $ 两点，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $。
(1) 求该抛物线的顶点坐标。
(2) 连接 $ B C $，$ P $ 是抛物线上的一点，在线段 $ B C $ 下方移动，过点 $ P $ 分别向 $ x $ 轴、$ y $ 轴作垂线，与 $ B C $ 分别交于 $ E, F $ 两点，求 $ P E + P F $ 的最大值。
(3) 将抛物线向右平移 2 个单位长度，向上平移 1 个单位长度得新抛物线 $ y ^ { \prime } $，$ M $ 是平移后的新抛物线上的一点，若 $ \angle M B C = 90 ^ { \circ } $，直接写出满足条件的点 $ M $ 的横坐标。

答案：
(1)$(1,-4)$
(2)$\frac {9}{2}$
(3)$\frac {5+\sqrt {13}}{2}$或$\frac {5-\sqrt {13}}{2}$