《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

10. 如图,把抛物线$y = x^2$沿直线$y = x$平移$\sqrt{2}$个单位长度,则平移后的抛物线的函数解析式是 (C)
A. $y = (x + 1)^2 - 1$
B. $y = (x + 1)^2 + 1$
C. $y = (x - 1)^2 + 1$
D. $y = (x - 1)^2 - 1$

答案： C

11. 点$A(m - 1, y_1)$,$B(m, y_2)$都在二次函数$y = (x - 1)^2 + n$的图象上.若$y_1 ＜ y_2$,则$m$的取值范围是 (B)
A. $m ＞ 2$
B. $m ＞ \frac{3}{2}$
C. $m ＜ 1$
D. $\frac{3}{2} ＜ m ＜ 2$

答案： B

12. 当$-3 ≤ x ≤ 1$时,若抛物线$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2$与直线$y = n$只有一个交点,则$n$的取值范围是______________.

答案： $ -\dfrac{3}{2} ＜ n \leq \dfrac{5}{2} $ 或 $ n = -2 $

 [变式] 已知函数$y = \begin{cases} 12(1 ≤ x ＜ 3), \\ (x - 5)^2 + 8(3 ≤ x ≤ 8) \end{cases}$的图象如图所示,若直线$y = kx - 3$与该图象有公共点,则$k$的最大值与最小值的和为________.

答案： 17

13. 如图,直线$y = -3x + 3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$,$B$.抛物线$y = a(x - 2)^2 + k$经过点$A$,$B$,并与$x$轴交于另一点$C$,其顶点为$P$.
(1)求$a$,$k$的值.
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点$M$,使$\triangle ABM$的周长最小? 若存在,求出$\triangle ABM$周长的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点$N$,使$\triangle ABN$是以$AB$为斜边的直角三角形? 若存在,求出点$N$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) $ a = 1 $，$ k = -1 $
(2) 存在. $ \triangle ABM $ 周长的最小值为 $ 3\sqrt{2} + \sqrt{10} $
(3) 存在. 点 $ N $ 的坐标为 $ (2, 1) $ 或 $ (2, 2) $