《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

7. 如图，在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle ABC = \angle ACB = 45^\circ $，$ D $，$ E $ 是斜边 $ BC $ 上的两点，且 $ \angle DAE = 45^\circ $。若 $ BD = 3 $，$ CE = 4 $，$ S_{\triangle ADE} = 15 $，则 $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle AEC $ 的面积之和是多少？

答案： 21

8. 如图 1，$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle BDC $ 是等腰三角形，且 $ AB = AC $，$ BD = CD $，$ \angle BAC = 80^\circ $，$ \angle BDC = 100^\circ $，以 $ D $ 为顶点作一个 $ 50^\circ $ 角，角的两边分别交边 $ AB $，$ AC $ 于点 $ E $，$ F $，连接 $ EF $。
(1) 探究 $ BE $，$ EF $，$ FC $ 之间的数量关系，并说明理由。
(2) 如图 2，若点 $ E $，$ F $ 分别在 $ AB $，$ CA $ 的延长线上，其他条件不变，则 $ BE $，$ EF $，$ FC $ 之间存在什么样的数量关系？请说明理由。

答案： $(1)$ $BE$，$EF$，$FC$之间的数量关系为$EF = BE + FC$
解：
延长$AC$至点$G$，使$CG = BE$，连接$DG$。
步骤一：证明$\triangle BDE\cong\triangle CDG$
已知$AB = AC$，$\angle BAC = 80^{\circ}$，根据三角形内角和公式$\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=\frac{1}{2}(180 - 80)^{\circ}=50^{\circ}$。
又因为$BD = CD$，$\angle BDC = 100^{\circ}$，所以$\angle DBC=\angle DCB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BDC)=\frac{1}{2}(180 - 100)^{\circ}=40^{\circ}$。
则$\angle EBD=\angle ABC+\angle DBC = 50^{\circ}+40^{\circ}=90^{\circ}$，$\angle FCD=\angle ACB+\angle DCB = 50^{\circ}+40^{\circ}=90^{\circ}$，所以$\angle DCG = 180^{\circ}-\angle FCD=90^{\circ}$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDG$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle EBD=\angle GCD\\BE = CG\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BDE\cong\triangle CDG$。
所以$DE = DG$，$\angle BDE=\angle CDG$。
步骤二：证明$\triangle DEF\cong\triangle DGF$
因为$\angle EDF = 50^{\circ}$，$\angle BDC = 100^{\circ}$，所以$\angle BDE+\angle FDC=\angle BDC-\angle EDF=100^{\circ}- 50^{\circ}=50^{\circ}$。
又因为$\angle BDE=\angle CDG$，所以$\angle GDF=\angle CDG+\angle FDC = 50^{\circ}$，即$\angle EDF=\angle GDF$。
在$\triangle DEF$和$\triangle DGF$中，$\left\{\begin{array}{l}DE = DG\\\angle EDF=\angle GDF\\DF = DF\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle DEF\cong\triangle DGF$。
所以$EF = GF$，而$GF=GC + FC$，$GC = BE$，所以$EF = BE + FC$。
$(2)$ $BE$，$EF$，$FC$之间的数量关系为$EF = FC - BE$
解：
在$CF$上截取$CG = BE$，连接$DG$。
步骤一：证明$\triangle BDE\cong\triangle CDG$
同$(1)$可证$\angle EBD=\angle DCG = 90^{\circ}$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDG$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle EBD=\angle GCD\\BE = CG\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BDE\cong\triangle CDG$。
所以$DE = DG$，$\angle BDE=\angle CDG$。
步骤二：证明$\triangle DEF\cong\triangle DGF$
因为$\angle BDC = 100^{\circ}$，$\angle EDF = 50^{\circ}$，所以$\angle BDE+\angle BDF=\angle EDF = 50^{\circ}$。
又因为$\angle BDE=\angle CDG$，所以$\angle GDF=\angle BDC-(\angle CDG+\angle BDF)=100^{\circ}- 50^{\circ}=50^{\circ}$，即$\angle EDF=\angle GDF$。
在$\triangle DEF$和$\triangle DGF$中，$\left\{\begin{array}{l}DE = DG\\\angle EDF=\angle GDF\\DF = DF\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle DEF\cong\triangle DGF$。
所以$EF = GF$，而$GF=FC - GC$，$GC = BE$，所以$EF = FC - BE$。
综上，$(1)$ $\boldsymbol{EF = BE + FC}$；$(2)$ $\boldsymbol{EF = FC - BE}$。