《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

9.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE=DB.

答案： 【解析】：
连接$BE$，
因为点$E$是$\triangle ABC$的内心，
所以$\angle BAD = \angle CAD$，$\angle ABE = \angle CBE$。
又因为$\angle CAD$与$\angle CBD$所对的弧都是$\overset{\frown}{CD}$，
所以$\angle CAD=\angle CBD$，则$\angle BAD = \angle CBD$。
$\angle BED=\angle BAD+\angle ABE$（三角形外角等于不相邻两个内角和），
$\angle EBD=\angle EBC+\angle CBD$，
由于$\angle BAD = \angle CBD$，$\angle ABE = \angle CBE$，
所以$\angle BED=\angle EBD$。
根据等角对等边，可得$DE = DB$。
【答案】：
连接$BE$，
$\because$点$E$是$\triangle ABC$的内心，
$\therefore\angle BAD = \angle CAD$，$\angle ABE = \angle CBE$。
$\because\angle CAD$与$\angle CBD$所对的弧都是$\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore\angle CAD=\angle CBD$，则$\angle BAD = \angle CBD$。
$\because\angle BED=\angle BAD+\angle ABE$，$\angle EBD=\angle EBC+\angle CBD$，
$\therefore\angle BED=\angle EBD$。
$\therefore DE = DB$。

10.如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE-BC的值和∠FDE的度数分别为（D）
A.2r，90°-α
B.0，90°-α
C.2r，90°-α/2
D.0，90°-α/2

答案： D

11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD是边AB上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，则⊙E与⊙F的面积比为9:16.

答案： 9:16

12.如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的度数为______.

答案： 35°

13.(2024·自贡改编)在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.
(1)如图1，若AC=3，BC=4，则⊙O的半径为______.
(2)如图2，延长AC到点M，使AM=AB，过点M作MN⊥AB于点N.求证：MN是⊙O的切线.

答案：
解:
(1)1
(2)证明:如图,过点O作OH⊥MN于点H,连接OD,OE,OF,则OE⊥BC,OF⊥AC,OD⊥AB.

∵∠ANM=∠ACB=90°,∠A=∠A,AM=AB,
∴△AMN≌△ABC(AAS),
∴AN=AC.
∵AD=AF,
∴AN - AD=AC - AF,即DN=CF.
∵∠C=∠OEC=∠OFC=90°,
∴四边形OECF是矩形,
∴CF=OE,
∴DN=OE.
∵∠ANM=∠ODN=∠OHN=90°,
∴四边形OHND是矩形,
∴OH=DN,
∴OH=OE,即OH是⊙O的半径.
∵OH⊥MN,
∴MN是⊙O的切线.