《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1.(2025·北碚区阶段练习节选)如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于点$A(-2,0),B(3,0)$,与$y$轴交于点$C(0,3)$,连接$BC$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点$P$在线段$BC$上方的抛物线上运动,过点$P$作$PE⊥BC$于点$E,PF⊥x$轴于点$F$,求$\frac {\sqrt {2}}{2}PE+\frac {1}{2}AF$的最大值,以及此时点$P$的坐标.

答案：
(1) $ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 $
(2) $ \frac{\sqrt{2}}{2}PE + \frac{1}{2}AF $ 的最大值为 $ \frac{41}{16} $，此时 $ P(\frac{5}{2}, \frac{9}{8}) $

2.(2024·牡丹江改编)如图,二次函数$y=\frac {1}{2}x^{2}+bx+c$的图象与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,点$A$的坐标为$(-1,0)$,点$C$的坐标为$(0,-3)$,连接$BC$.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)$P$是第四象限内抛物线上的任意一点,求$\triangle PBC$的面积的最大值及此时$BC$边上的高$PN$的值.

答案：
(1) $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x - 3 $
(2) $ \triangle PBC $ 的面积的最大值为 $ \frac{27}{2} $，此时 $ PN = \frac{9\sqrt{5}}{5} $