《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1.(2025·巴南区月考)如图,在圆中,一定与$∠1$相等的角是(D)

A.$∠2$
B.$∠3$
C.$∠4$
D.$∠5$

答案： D

2.(2024·重庆 B 卷)如图,AB 是$\odot O$的弦,$OC⊥AB$交$\odot O$于点 C,D 是$\odot O$上的一点,连接BD,CD.若$∠D=28^{\circ }$,则$∠OAB$的度数为(B)

A.$28^{\circ }$
B.$34^{\circ }$
C.$56^{\circ }$
D.$62^{\circ }$

答案： B

3.(2024·西藏)如图,AC 为$\odot O$的直径,点 B,D 在$\odot O$上,$∠ABD=60^{\circ },CD=2$,则 AD 的长为(C)
A.2
B.$2\sqrt {2}$
C.$2\sqrt {3}$
D.4

答案： C

4.如图,在圆内接四边形 ABCD 中,$∠BCD=105^{\circ }$,连接OB,OC,OD,BD,$∠BOC=2∠COD$,则$∠CBD$的度数是(A)
A.$25^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$40^{\circ }$

答案： A

5.(2024·连云港)如图,AB 是圆的直径,$∠1,∠2,$$∠3,∠4$的顶点均在 AB 上方的圆弧上,$∠1,$$∠4$的一边分别经过点 A,B,则$∠1+∠2+$$∠3+∠4=$90$^{\circ }$.

答案： 90

6.(2024·济宁改编)如图,分别延长圆内接四边形ABCD 的两组对边,延长线相交于点 E,F.若$∠E=54^{\circ }41',∠F=43^{\circ }19'$,则$∠A$的度数为______$41^{\circ}$.

答案： 1. 首先，根据圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，所以$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle ABC$。
在$\triangle ABE$中，$\angle ABC = 180^{\circ}-\angle A - \angle E$；在$\triangle ADF$中，$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle A-\angle F$。
2. 然后，因为$\angle ADC+\angle ABC = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）：
把$\angle ABC = 180^{\circ}-\angle A - \angle E$和$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle A-\angle F$代入$\angle ADC+\angle ABC = 180^{\circ}$中，得到$(180^{\circ}-\angle A - \angle F)+(180^{\circ}-\angle A - \angle E)=180^{\circ}$。
展开式子：$180^{\circ}-\angle A - \angle F+180^{\circ}-\angle A - \angle E = 180^{\circ}$。
移项可得：$2\angle A=180^{\circ}-\angle E - \angle F$。
3. 接着，已知$\angle E = 54^{\circ}41'$，$\angle F = 43^{\circ}19'$：
先计算$\angle E+\angle F$的值：$\angle E+\angle F=54^{\circ}41'+43^{\circ}19'=(54 + 43)^{\circ}+(41 + 19)'=97^{\circ}60' = 98^{\circ}$。
再将$\angle E+\angle F = 98^{\circ}$代入$2\angle A=180^{\circ}-\angle E - \angle F$中，即$2\angle A=180^{\circ}-98^{\circ}$。
解得$\angle A = 41^{\circ}$。
所以$\angle A$的度数为$41^{\circ}$。

7.如图,四边形 ABDC 是$\odot O$的内接四边形,AD,BC 是对角线,过点 A 作$AE⊥AD$交 DB的延长线于点 E,$AB=AC$,BC 为$\odot O$的直径,求证:$△ABE\cong △ACD.$

答案： 【解析】：
- 因为$BC$是$\odot O$的直径，所以$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle BDC = 90^{\circ}$。
- 又因为$AE\perp AD$，所以$\angle EAD = 90^{\circ}$，则$\angle EAB+\angle BAD=\angle CAD+\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle EAB=\angle CAD$。
- 由于$AB = AC$，且$\angle ABE+\angle ABD = 180^{\circ}$，四边形$ABDC$是圆内接四边形，所以$\angle ACD+\angle ABD = 180^{\circ}$，那么$\angle ABE=\angle ACD$。
- 在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}\angle EAB=\angle CAD\\AB = AC\\\angle ABE=\angle ACD\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
【答案】：
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}\angle EAB=\angle CAD\\AB = AC\\\angle ABE=\angle ACD\end{cases}$，所以$\triangle ABE\cong\triangle ACD(ASA)$。

8.如图,$\odot O$的直径$AB=10cm$,弦$AC=6cm,$$∠ACB$的平分线交$\odot O$于点 D.
(1)判断$△ABD$的形状,并说明理由;
(2)求点 O 到弦 BD 的距离.

答案： 1. （1）判断$\triangle ABD$的形状：
因为$AB$是$\odot O$的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，所以$\angle ACB = \angle ADB=90^{\circ}$。
又因为$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACD=\angle BCD$。
根据同弧所对的圆周角相等，$\angle ACD$与$\angle ABD$所对弧为$\overset{\frown}{AD}$，$\angle BCD$与$\angle BAD$所对弧为$\overset{\frown}{BD}$，所以$\angle BAD=\angle ABD$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle BAD=\angle ABD$，根据等腰直角三角形的判定（有一个角是$90^{\circ}$且两个锐角相等的三角形是等腰直角三角形），所以$\triangle ABD$是等腰直角三角形。
2. （2）求点$O$到弦$BD$的距离：
过点$O$作$OE\perp BD$于点$E$。
已知$AB = 10cm$，在$Rt\triangle ABD$中，$\triangle ABD$是等腰直角三角形，$AB$为斜边，根据等腰直角三角形的性质$AD = BD$，且由勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，因为$AD = BD$，所以$AB^{2}=2BD^{2}$，则$BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$，把$AB = 10$代入得$BD = 5\sqrt{2}cm$。
因为$OE\perp BD$，$O$是$AB$中点（$AB$是直径，$O$为圆心），根据垂径定理和三角形中位线定理（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半），在$\triangle ABD$中，$OE// AD$，$O$是$AB$中点，所以$OE=\frac{1}{2}AD$。
又因为$AD = BD = 5\sqrt{2}cm$，所以$OE=\frac{1}{2}\times5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}cm$。
综上，（1）$\triangle ABD$是等腰直角三角形；（2）点$O$到弦$BD$的距离为$\frac{5\sqrt{2}}{2}cm$。