《2025年一本同步训练九年级数学上册人教版重庆专版》

1.(2024·达州)如图 1,抛物线$y=ax^{2}+kx-3$与x轴交于点$A(-3,0)$和点$B(1,0)$,与y轴交于点C,D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图 2,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若在直线AC上方的抛物线上存在一点P,连接PM,PC,使得$S_{△PMC}=2S_{△DMC}$,求点P的坐标.
(3)若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) $ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 $
(2) 点 $ P $ 的坐标为 $ ( 1, 0 ) $ 或 $ ( - 4, 5 ) $
(3) 存在. 点 $ N $ 的坐标为 $ ( - 1, \sqrt { 14 } ) $ 或 $ ( - 1, - \sqrt { 14 } ) $ 或 $ ( - 1, - 1 ) $ 或 $ ( - 1, \sqrt { 17 } - 3 ) $

2.如图 1,抛物线$y=ax^{2}+bx-4$与x轴交于$A(2,0),B(-6,0)$两点,与y轴交于点C,连接BC,过点A作$AD// BC$交抛物线于点D.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图 2,M为直线BC下方抛物线上的一点,连接DM交BC于点N,连接AM,AN,求$△AMN$面积的最大值及此时点M的坐标.
(3)将抛物线沿DA方向平移$2\sqrt {13}$个单位长度,P为平移后的抛物线对称轴上一点,是否存在点P,使得$△BCP$为等腰三角形?若存在,写出点P的坐标,并写出其中一个点的求解过程;若不存在,请说明理由.

答案： $(1)$求抛物线的函数解析式
解：已知抛物线$y = ax^{2}+bx - 4$与$x$轴交于$A(2,0)$，$B(-6,0)$两点，将$A$、$B$两点坐标代入抛物线方程可得方程组：
$\begin{cases}4a + 2b-4 = 0\\36a-6b - 4 = 0\end{cases}$
由$4a + 2b-4 = 0$可得$2a + b=2$，即$b = 2 - 2a$。
将$b = 2 - 2a$代入$36a-6b - 4 = 0$中：
$\begin{aligned}36a-6(2 - 2a)-4&=0\\36a-12 + 12a-4&=0\\48a&=16\\a&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
把$a=\frac{1}{3}$代入$b = 2 - 2a$，得$b = 2-2\times\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$。
所以抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x - 4$。
$(2)$求$\triangle AMN$面积的最大值及此时点$M$的坐标
先求直线$BC$的解析式：
已知$B(-6,0)$，$C(0,-4)$，设直线$BC$的解析式为$y = kx + c$，则$\begin{cases}-6k + c = 0\\c=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\c = - 4\end{cases}$，所以$y=-\frac{2}{3}x - 4$。
因为$AD// BC$，设直线$AD$的解析式为$y=-\frac{2}{3}x + m$，把$A(2,0)$代入得$0=-\frac{2}{3}\times2 + m$，解得$m=\frac{4}{3}$，即$y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$。
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x - 4\\y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\end{cases}$，消去$y$得$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x - 4=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$，即$x^{2}+6x - 16 = 0$，$(x + 8)(x - 2)=0$，解得$x_1 = 2$（$A$点横坐标），$x_2=-8$，当$x=-8$时，$y=\frac{20}{3}$，所以$D(-8,\frac{20}{3})$。
过$M$作$ME// y$轴交$BC$于$E$，设$M(t,\frac{1}{3}t^{2}+\frac{4}{3}t - 4)$，$E(t,-\frac{2}{3}t - 4)$，则$ME=-\frac{2}{3}t - 4-(\frac{1}{3}t^{2}+\frac{4}{3}t - 4)=-\frac{1}{3}t^{2}-2t$。
因为$AD// BC$，所以$\triangle AMN$和$\triangle ABN$的高相等，$S_{\triangle AMN}=S_{\triangle ABN}$。
$S_{\triangle ABN}=\frac{1}{2}\times AB\times h$（$h$为$M$到$AB$的垂直距离，即$ME$的长度），$AB=2-(-6)=8$。
$S = \frac{1}{2}\times8\times(-\frac{1}{3}t^{2}-2t)=-\frac{4}{3}(t^{2}+6t)=-\frac{4}{3}(t + 3)^{2}+12$。
当$t=-3$时，$S_{\triangle AMN}$有最大值$12$，此时$y_M=\frac{1}{3}\times(-3)^{2}+\frac{4}{3}\times(-3)-4=-5$，所以$M(-3,-5)$。
$(3)$判断是否存在点$P$使得$\triangle BCP$为等腰三角形
存在，点$P$的坐标为$(-2, - 4 + 2\sqrt{13})$，$(-2, - 4-2\sqrt{13})$，$(-2,2)$，$(-2,-\frac{10}{3})$。
以$P(-2, - 4 + 2\sqrt{13})$为例求解：
抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x - 4=\frac{1}{3}(x + 2)^{2}-\frac{16}{3}$，对称轴为$x=-2$。
沿$DA$方向平移$2\sqrt{13}$个单位长度，$DA$方向向量可由$D(-8,\frac{20}{3})$，$A(2,0)$得到$\overrightarrow{DA}=(10,-\frac{20}{3})$，单位向量为$\frac{\overrightarrow{DA}}{\vert\overrightarrow{DA}\vert}=\frac{(10,-\frac{20}{3})}{\sqrt{10^{2}+(-\frac{20}{3})^{2}}}=\frac{(10,-\frac{20}{3})}{ \frac{10\sqrt{13}}{3}}=(\frac{3}{\sqrt{13}},-\frac{2}{\sqrt{13}})$。
平移后抛物线对称轴仍为$x = - 2$，设$P(-2,y)$。
$B(-6,0)$，$C(0,-4)$，$BC=\sqrt{(-6 - 0)^{2}+(0 + 4)^{2}}=2\sqrt{13}$。
当$CP=BC$时，$\sqrt{(-2-0)^{2}+(y + 4)^{2}}=2\sqrt{13}$，$4+(y + 4)^{2}=52$，$(y + 4)^{2}=48$，$y=-4\pm4\sqrt{3}$（舍去）；
当$BP=BC$时，$\sqrt{(-2 + 6)^{2}+y^{2}}=2\sqrt{13}$，$16+y^{2}=52$，$y^{2}=36$，$y=\pm6$（舍去）；
当$BP = CP$时，$\sqrt{(-2 + 6)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-2-0)^{2}+(y + 4)^{2}}$，$16+y^{2}=4+(y + 4)^{2}$，$16+y^{2}=4+y^{2}+8y + 16$，$8y=-4$，$y =-\frac{1}{2}$（舍去）；
当$CP$为腰，$C$为顶点时，设$P(-2,y)$，$CP=\sqrt{(-2-0)^{2}+(y + 4)^{2}}$，因为$BC = 2\sqrt{13}$，$\sqrt{(-2-0)^{2}+(y + 4)^{2}}=2\sqrt{13}$，$4+(y + 4)^{2}=52$，$(y + 4)^{2}=48$，$y=-4\pm4\sqrt{3}$（舍去）；
当$BC$为腰，$B$为顶点时，设$P(-2,y)$，$BP=\sqrt{(-2 + 6)^{2}+y^{2}}$，$\sqrt{(-2 + 6)^{2}+y^{2}}=2\sqrt{13}$，$16+y^{2}=52$，$y=\pm6$（舍去）；
当$BC$为腰，$C$为顶点，向上平移时，$P(-2, - 4 + 2\sqrt{13})$（根据平移向量计算，$DA$方向平移$2\sqrt{13}$，在对称轴$x=-2$上，$y$坐标增加$2\sqrt{13}\times\frac{2}{\sqrt{13}} = 4$，$y=-4 + 4+2\sqrt{13}=-4 + 2\sqrt{13}$）。
综上，$(1)$抛物线解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x - 4}$；$(2)$$\triangle AMN$面积最大值为$\boldsymbol{12}$，$M$坐标为$\boldsymbol{(-3,-5)}$；$(3)$存在，$P$坐标为$\boldsymbol{(-2, - 4 + 2\sqrt{13})}$，$\boldsymbol{(-2, - 4-2\sqrt{13})}$，$\boldsymbol{(-2,2)}$，$\boldsymbol{(-2,-\frac{10}{3})}$。