《2025年教材完全解读高中物理必修第三册粤教版》

例3 2025·广东实验中学检测
如图所示，虚线 $MN$ 左侧有一电场强度为 $E_1 = E$ 的匀强电场，在两条平行的虚线 $MN$ 和 $PQ$ 之间存在着宽为 $L$、电场强度为 $E_2 = 2E$ 的匀强电场，在虚线 $PQ$ 右侧相距为 $L$ 处有一与电场 $E_2$ 平行的屏。现将一电子（电荷量为 $e$，质量为 $m$，不计重力）无初速度地放入电场 $E_1$ 中的 $A$ 点，$A$ 点到 $MN$ 的距离为 $\dfrac{L}{2}$，最后电子打在右侧的屏上，$AO$ 连线与屏垂直，垂足为 $O$，求：
（1）电子在电场 $E_1$ 中的运动时间 $t_1$；
（2）电子刚射出电场 $E_2$ 时的速度方向与 $AO$ 连线的夹角 $\theta$ 的正切值 $\tan\theta$；
（3）电子打在屏上的点 $P'$（图中未标出）到点 $O$ 的距离 $x$。
解 （1）电子在电场 $E_1$ 中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为 $a_1$，由牛顿第二定律得 $a_1 = \dfrac{eE_1}{m} = \dfrac{eE}{m}$，由运动学公式得 $\dfrac{L}{2} = \dfrac{1}{2}a_1t_1^2$，解得 $t_1 = \sqrt{\dfrac{mL}{eE}}$。
（2）设电子射出电场 $E_2$ 时平行电场方向的速度为 $v_y$，射入电场 $E_2$ 时的速度为 $v_1$，由牛顿第二定律得，电子进入电场 $E_2$ 时的加速度为 $a_2 = \dfrac{eE_2}{m} = \dfrac{2eE}{m}$，$v_y = a_2t_2$，沿射入电场 $E_2$ 的速度方向有 $L = v_1t_2$，$v_1 = a_1t_1$，电子刚射出电场 $E_2$ 时的速度方向与水平方向的夹角 $\theta$ 的正切值为 $\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_1}$，联立解得 $\tan\theta = 2$。
（3）电子在电场中的运动轨迹如图所示，设电子打到屏上的点 $P'$ 到点 $O$ 的距离为 $x$，根据几何关系得 $\tan\theta = \dfrac{x}{L + \dfrac{L}{2}}$，联立解得 $x = 3L$。

答案： （1）$\sqrt{\frac{mL}{eE}}$；（2）2；（3）$3L$。