《2025年教材完全解读高中物理必修第三册粤教版》

例2
如图所示,一个均匀的带电圆环,带电荷量为$+Q$,半径为$R$,放在绝缘水平桌面上。圆心为$O$点,过$O$点作一竖直线,在此线上取一点$A$,使$A$到$O$点的距离为$R$,在$A$点放一试探电荷$+q$,则$+q$在$A$点所受的电场力为()。

A.$\frac{kQq}{R^{2}}$,方向竖直向上
B.$\frac{\sqrt{2}kQq}{4R^{2}}$,方向竖直向上
C.$\frac{kQq}{4R^{2}}$,方向水平向左
D.不能确定
错解$A$
错因分析,错误地认为圆环上电荷量$+Q$等效在$O$点,直接利用$F = k\frac{Qq}{R^{2}}$求解。
正解$B$
解析将均匀的带电圆环分成很多长度为$\Delta x$的微元,每个微元所带电荷量为$q' = \frac{Q}{2\pi R}\Delta x$。每个微元在$A$点对试探电荷$+q$的电场力沿$OA$方向的分力为$k\frac{q'q}{2R^{2}}\cos 45^{\circ}$,根据对称性可知垂直$AO$方向的分力抵消。整个均匀带电圆环在$A$点对试探电荷$+q$的电场力为$k\frac{q'q}{2R^{2}}\cos 45^{\circ} × \frac{2\pi R}{\Delta x} = \frac{\sqrt{2}kqQ}{4R^{2}}$,方向竖直向上,选项$B$正确。

答案： B

例1 2023·全国乙卷
如图所示，等边三角形 $ABC$ 位于竖直平面内，$AB$ 边水平，顶点 $C$ 在 $AB$ 边上方，3 个点电荷分别固定在三角形的 3 个顶点上。已知 $AB$ 边中点 $M$ 处的电场强度方向竖直向下，$BC$ 边中点 $N$ 处
的电场强度方向竖直向上，$A$ 点处点电荷的电荷量的绝对值为 $q$。
(1)求 $B$ 点处点电荷的电荷量的绝对值并判断 3 个点电荷的正负。
(2)求 $C$ 点处点电荷的电荷量。
素养解码, 本题主要考查理解能力、推理论证能力和数学知识的运用能力。
思路点拨, (1) 题中已知 $M$ 点电场强度方向竖直向下, 可知 $A、B$ 处点电荷在 $M$ 点处产生的电场强度等大反向, $C$ 处点电荷带正电, 又 $M$ 为 $AB$ 边的中点, 结合点电荷的电场强度公式 $E = \frac{kq}{r^2}$可知, $A、B$ 两点处电荷的电荷量大小相等, 电性相同, 即 $B$ 点处点电荷的电荷量的绝对值为 $q$。

$C$ 处点电荷在 $N$ 点产生的电场强度方向为 $N→B$, 假设 $A、B$ 两点处电荷均带负电, 则 3 个点电荷在 $N$ 处产生的合场强方向不可能竖直向上, 所以 $A、B$ 两点处点电荷均带正电, 即 3 个点电荷均带正电。

(2) 设 $C$ 点处点电荷的电荷量为 $q_c$, 等边三角形的边长为 $2L$, 则 $AN = \sqrt{3}L$, 对 3 个点电荷在 $N$ 处产生的电场强度分析, 如图所示, 其中 $E_{BC}$ 是 $B、C$ 处点电荷在 $N$ 处产生的合场强, $E_A$ 是 $A$ 处点电荷在 $N$ 处产生的场强, $E_N$ 为 $N$ 点处的合场强。
根据几何关系得 $\frac{E_A}{E_{BC}} = \tan 30°$, 故 $\frac{\frac{kq}{(\sqrt{3}L)^2}}{(\frac{kq_c}{L^2} - \frac{kq}{L^2})} = \tan 30°$, 解得 $q_c = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}q$。

答案：
(1) $B$ 点处点电荷的电荷量的绝对值为 $q$，3 个点电荷均带正电。
(2) 设 $C$ 点处点电荷的电荷量为 $q_c$，等边三角形的边长为 $2L$，则 $AN = \sqrt{3}L$。
根据点电荷电场强度公式 $E = \frac{kq}{r^2}$，$A$ 处点电荷在 $N$ 处产生的场强 $E_A = \frac{kq}{(\sqrt{3}L)^2} = \frac{kq}{3L^2}$，$B$ 处点电荷在 $N$ 处产生的场强 $E_B = \frac{kq}{L^2}$，$C$ 处点电荷在 $N$ 处产生的场强 $E_C = \frac{kq_c}{L^2}$。
$B、C$ 处点电荷在 $N$ 处产生的合场强 $E_{BC} = E_B - E_C = \frac{kq}{L^2} - \frac{kq_c}{L^2}$。
由几何关系 $\frac{E_A}{E_{BC}} = \tan 30°$，即 $\frac{\frac{kq}{3L^2}}{\frac{kq}{L^2} - \frac{kq_c}{L^2}} = \tan 30°$，$\frac{\frac{q}{3}}{q - q_c} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，解得 $q_c = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}q$。