《2025年教材完全解读高中物理必修第三册粤教版》

例3 2024·河北卷
如图所示，真空中有两个电荷量均为 $q$($q ＞ 0$)的点电荷，分别固定在正三角形 $ABC$ 的顶点 $B$、$C$，$M$ 为三角形 $ABC$ 的中点，沿 $AM$ 的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为 $\frac{q}{2}$。已知正三角形 $ABC$ 的边长为 $a$，$M$ 点的电场强度为0，静电力常量为 $k$，顶点 $A$ 处的电场强度大小为()。


A.$\frac{2 \sqrt{3} k q}{a^2}$
B.$\frac{k q}{a^2} (6 + \sqrt{3})$
C.$\frac{k q}{a^2} (3 \sqrt{3} + 1)$
D.$\frac{k q}{a^2} (3 + \sqrt{3})$
解 $B$ 点、$C$ 点的电荷在 $M$ 点的合场强为 $E = 2 \frac{k q}{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} a \right)^2} \cos 60° = \frac{3 k q}{a^2}$，因 $M$ 点的合场强为零，因此带电细杆在 $M$ 点的场强 $E_M = E$，由对称性可知带电细杆在 $A$ 点的场强为 $E_A = E_M = E$，方向竖直向上，因此 $A$ 点合场强为 $E_{ 合} = E_A + 2 \frac{k q}{a^2} \cos 30° = \frac{k q}{a^2} (\sqrt{3} + 3)$，故选 D。
答 D

答案： D

例4-1 2024·河北卷
如图所示，竖直向上的匀强电场中，用长为 $L$ 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕 $O$ 点做圆周运动。图中 $A$、$B$ 为圆周上的两点，$A$ 点为最低点，$B$ 点与 $O$ 点等高。当小球运动到 $A$ 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为 $q$（$q ＞ 0$）、质量为 $m$，$A$、$B$ 两点间的电势差为 $U$，重力加速度大小为 $g$，求：

(1) 电场强度 $E$ 的大小。
(2) 小球在 $A$、$B$ 两点的速度大小。
解
(1) 在匀强电场中，根据公式可得场强大小为 $E = \frac{U}{L}$。
(2) 在 $A$ 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得 $Eq - mg = m \frac{v_A^2}{L}$，$A$ 到 $B$ 过程根据动能定理得 $qU - mgL = \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2$，联立解得 $v_A = \sqrt{\frac{Uq - mgL}{m}}$，$v_B = \sqrt{\frac{3(Uq - mgL)}{m}}$。

答案：
(1) 由 $A$、$B$ 两点间的电势差为 $U$，电场方向竖直向上，$A$、$B$ 两点沿电场线方向的距离为 $L$，根据匀强电场电势差与电场强度的关系 $U = Ed$（这里 $d = L$），可得电场强度 $E$ 的大小为：
$E=\frac{U}{L}$
(2) 在 $A$ 点，细线对小球的拉力恰好为 0，小球受到重力 $mg$ 和电场力 $qE$，这两个力的合力提供小球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得：
$qE - mg = m\frac{v_{A}^{2}}{L}$
将 $E = \frac{U}{L}$ 代入上式可得：
$q×\frac{U}{L}-mg = m\frac{v_{A}^{2}}{L}$
$v_{A}=\sqrt{\frac{Uq - mgL}{m}}$
从 $A$ 到 $B$ 过程，根据动能定理，合外力做功等于动能的变化量，合外力做功为 $qU - mgL$，则有：
$qU - mgL=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}-\frac{1}{2}mv_{A}^{2}$
将 $v_{A}=\sqrt{\frac{Uq - mgL}{m}}$ 代入上式可得：
$qU - mgL=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}-\frac{1}{2}m×\frac{Uq - mgL}{m}$
$qU - mgL=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}-\frac{1}{2}(Uq - mgL)$
$\frac{1}{2}mv_{B}^{2}=qU - mgL+\frac{1}{2}(Uq - mgL)$
$\frac{1}{2}mv_{B}^{2}=\frac{3}{2}(Uq - mgL)$
$v_{B}=\sqrt{\frac{3(Uq - mgL)}{m}}$
综上，答案为：
(1) $E=\frac{U}{L}$；
(2) $v_{A}=\sqrt{\frac{Uq - mgL}{m}}$，$v_{B}=\sqrt{\frac{3(Uq - mgL)}{m}}$。