《2025年教材完全解读高中物理必修第三册粤教版》

例 2024·江门月考

现有一个电学黑箱，有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个接线柱，如图所示。若用多用电表的电压挡和电阻挡分别测量，发现两接线柱间测量结果如下：$U_{AB} = U_{AC} = U_{AD} = 1.5\ V$；$U_{BC} = U_{BD} = U_{CD} = 0$；$R_{BC} = 4\ \Omega$，$R_{BD} = 3\ \Omega$，$R_{CD} = 5\ \Omega$。试判断箱内电路的最简单结构（电阻无并联的情况）。
解 由电压测量结果知，$B$、$C$、$D$ 三点电势相等，$A$ 点电势比它们高 $1.5\ V$，即箱内只有一处电池，且接线柱 $A$ 应接电池正极，$B$、$C$、$D$ 三点间无电池。
由电阻测量结果可知，$B$、$C$、$D$ 三个接线柱之间均有电阻，箱内最简单的电路如图所示，由测量结果可知 $R_1 + R_2 = 4\ \Omega$，$R_1 + R_3 = 3\ \Omega$，$R_2 + R_3 = 5\ \Omega$。

解得 $R_1 = 1\ \Omega$，$R_2 = 3\ \Omega$，$R_3 = 2\ \Omega$。
点评
用多用电表探测黑箱内的电学元件

答案： 根据电压测量结果：
$U_{AB} = U_{AC} = U_{AD} = 1.5 V$；
$U_{BC} = U_{BD} = U_{CD} = 0 V$。
由此可知，$B$、$C$、$D$ 三点电势相等，$A$ 点电势比它们高 $1.5 V$。因此，箱内只有一处电池，且接线柱 $A$ 应接电池正极，$B$、$C$、$D$ 三点间无电池。
根据电阻测量结果：
$R_{BC} = 4 \ \Omega$；
$R_{BD} = 3 \ \Omega$；
$R_{CD} = 5 \ \Omega$。
由此可知，$B$、$C$、$D$ 三个接线柱之间均有电阻，箱内最简单的电路应包含三个电阻 $R_1$、$R_2$、$R_3$，且无并联。
设 $R_1$、$R_2$、$R_3$ 分别为 $B$、$C$、$D$ 之间的电阻，根据测量结果：
$R_1 + R_2 = 4 \ \Omega$；
$R_1 + R_3 = 3 \ \Omega$；
$R_2 + R_3 = 5 \ \Omega$。
解方程组：
从 $R_1 + R_2 = 4 \ \Omega$ 和 $R_1 + R_3 = 3 \ \Omega$ 中，得 $R_2 - R_3 = 1 \ \Omega$。
从 $R_2 + R_3 = 5 \ \Omega$ 和 $R_2 - R_3 = 1 \ \Omega$ 中，得 $2R_2 = 6 \ \Omega$，即 $R_2 = 3 \ \Omega$。
代入 $R_2 = 3 \ \Omega$，得 $R_3 = 2 \ \Omega$，$R_1 = 1 \ \Omega$。
因此，箱内电路的最简单结构为：
$R_1 = 1 \ \Omega$；
$R_2 = 3 \ \Omega$；
$R_3 = 2 \ \Omega$。
电池正极接 $A$，$B$、$C$、$D$ 三点间分别接 $R_1$、$R_2$、$R_3$。