《2025年教材完全解读高中物理必修第三册粤教版》

例1 - 1 2024·甘肃卷
精确测量干电池电动势和内阻需要考虑电表内阻的影响。可用器材有：电压表(量程$1.5V$，内阻约为$1.5k\Omega$)、电流表(量程$0.6A$)、滑动变阻器、开关、干电池和导线若干。某小组开展了以下实验。


(1)考虑电流表内阻影响
①用图1所示电路测量电流表的内阻。从图2电压表和电流表读数可得电流表内阻$R_A =$$\Omega$(保留2位有效数字)。
②用图3所示电路测量干电池电动势和内阻。电压表读数、电流表读数、干电池内阻和电流表内阻分别用$U$、$I$、$r$和$R_A$表示。则干电池电动势$E = U +$(用$I$、$r$和$R_A$表示)。
③调节滑动变阻器测得多组电表读数，作出图4所示的$U - I$图像。则待测干电池电动势$E =$$V$(保留3位有效数字)、内阻$r =$$\Omega$(保留1位小数)。

4 实验步骤

(1)确定电流表、电压表的量程，按如图所示电路把实验器材连接好。
(2)把滑动变阻器的滑片移到右端使接入电路的阻值最大。
(3)闭合开关，调节滑动变阻器使电流表有明显示数，记录一组电流表和电压表的示数；用同样的方法测量并记录几组$I$值和$U$值。

(4)断开开关，整理好器材。
5 数据处理
(1)代数法:根据闭合电路的欧姆定律，得$\begin{cases} E = U_1 + I_1r \\ E = U_2 + I_2r \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} E = \frac{I_1U_2 - I_2U_1}{I_1 - I_2} \\ r = \frac{U_2 - U_1}{I_1 - I_2} \end{cases}$，
为减小误差，多测几组$I$、$U$数据，求出几组$E$、$r$值，算出它们的平均值。

(2)图像法:在坐标纸上，以$I$为横坐标，$U$为纵坐标，作出$U - I$图像。根据闭合电路欧姆定律得$U = E - Ir$，$U$是$I$的一次函数，这个图像是一条直线。这条直线在纵轴上的截距等于电源的电动势，直线的斜率的绝对值等于电源的内阻，即$r = |\frac{\Delta U}{\Delta I}|$或$r = \frac{E}{I_{短}}$。
6 误差分析
(1)外接法
若用如图甲所示电路测量，由于电压表中有电流$I_V$通过，使电流表示数$I$小于电源的输出电流$I_{真}$。$I_{真} = I + I_V$，而$I_V = \frac{U}{R_V}$，$U$越大，$I_V$越大，它们的关系如图乙所示。实测的图线为$AB$，经过修正后的图线为$A'B$，可看出直线$AB$的斜率的绝对值和在纵轴上的截距都小于直线$A'B$，即实测的$E$和$r$都小于真实值。


此外也可用电路结构来分析:若把图甲中的$R$和电流表看成外电路，则电压表可看成内电路的一部分，故实际测出的是电源和电压表这个整体的等效内阻$r_{测}$和电动势$E$，电压表和电源并联，故等效内阻$r_{测}$小于电源内阻$r_{真}$，即$r_{测} ＜ r_{真}$；外电路断开时，$C$、$D$两点间电压$U_{CD}$即等效电动势$E$，此时电压表与电源构成回路，故$U_{CD} ＜ E_{真}$，即$E_{测} ＜ E_{真}$。
(2)内接法
若用如图丙所示电路测量，电流表示数等于流过电源的电流，但电压表的示数比电源路端电压小，$U_{真} = U_A + U$，而$U_A = IR_A$，$I$越大，$U_A$越大，它们的关系如图丁所示，实测图线为$AB$，经过修正后的图线为$AB'$，可以看出直线$AB$在纵轴上的截距与直线$AB'$相同，即$E_{测} = E_{真}$，直线$AB$斜率的绝对值大于直线$AB'$斜率的绝对值，即$r_{测} ＞ r_{真}$。

用电路结构来分析。若把图丙中的$R$和电压表看成外电路，则电流表可看成内电路的一部分，故实际测出的是电源和电流表这个等效电源的电动势和内阻$r$，故等效内阻$r$大于电源内阻$r_{真}$，即$r_{测} ＞ r_{真}$；外电路断开时，$C$、$D$两点间的电压$U_{CD}$即等效电动势，因此$U_{CD} = E_{真}$，即$E_{测} = E_{真}$，但由于$R_A$和$r_{真}$相当，致使内阻测量相对误差太大。
7 实验中需要注意的问题
(1)为了使电源的路端电压变化明显，电源的内阻宜大些，所以可选用已使用过一段时间的干电池。
(2)选用内阻适当大一些的电压表。
(3)电源在大电流放电时极化现象较严重，电动势$E$会明显下降，内阻$r$会明显增大。因此，实验中不要将$I$调得过大，读数时要快，每次读完后应立即断电。
(4)在实验操作中，开关$S$闭合以前，应调整滑动变阻器的滑片使接入电路的电阻最大。
(5)实验中要测出不少于6组$U$、$I$数据，且变化范围尽量大些。
(2)由于将电压表串联接在电路中，电压表内阻很大，电路中电流太小，故无法完成实验的原因可能是电流太小无法读数。故选D。
答(1)①$1.0$ ②$I(r + R_A)$ ③$1.40$ $1.0$ (2)D

答案：
(1)
① $R_A = \frac{U}{I} = \frac{0.60}{0.58} \approx 1.0 \, \Omega$
② $E = U + I(r + R_A)$
③ $E = 1.40 \, V$，$r = 1.0 \, \Omega$
(2)
D