《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·北京汇文中学月考](多选)下列结论中正确的有(BD)

A.半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫做球
B.直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

答案： 1．BD【解析】半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故A错误；以直角三角形的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；将圆锥截去小圆锥，则截面必须与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确．故选BD．
易错警示
本题易忽视球与球面的区别而错选A，或者忽视两个平行截面不平行于圆柱上、下两个底面的情况而错选C．

2. [2024·曲靖一中月考]如图所示，关于该几何体的说法正确的有①③④⑤。(填序号)
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到。

答案：
2．①③④⑤【解析】①正确，因为有六个面，属于六面体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒，会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图所示．
　　　
易错警示
判断棱台时经常会忽视侧棱的延长线必须交于一点这一特征，直观的感觉是棱台，而不注意逻辑推理；截多面体易忽视图形的多样性，要思考全面．

3. [2024·广东实验中学期中](多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB=2，CD=4，AD=2，则(BCD)

A.以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得几何体的侧面积为16√2π
B.以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得几何体的体积为32π/3
C.以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得几何体的表面积为20π+4√2π
D.以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得几何体的体积为28√2π/3

答案：
3．BCD【解析】延长DA，CB交于点E，如图1．
由题意得，AE=AD=2，
BE=BC=√AD²+$\frac{CD}{2}$( )=2$\sqrt{2}$．
对于A，以AD所在直线为轴旋转，得到一个圆台，此圆台的侧面积S侧=
(2+4)×2$\sqrt{2}$π=12$\sqrt{2}$π，故A错误；对
于B，以CD所在直线为轴旋转，得到一个以2为底面半径，以2为高的圆柱与一个以2为底面半径，以2为高的圆锥的组合体，所以该组合体的体积为V=V柱+V锥=2²×2π+$\frac{1}{3}$×2²×2π=$\frac{32π}{3}$，故B正确；对于C，以
AB所在直线为轴旋转，得到一个圆柱挖去一个圆锥的几何体，所以该几何体的表面积为S=
4π+2π×2×4+2$\sqrt{2}$×2π=20π+
4$\sqrt{2}$π，故C正确；对于D，以BC所在直
线为轴旋转，得到一个圆锥和一个圆台
挖去一个小圆锥的几何体，如图2，所以
该几何体的体积为V=$\frac{1}{3}$×(2$\sqrt{2}$)²×
2$\sqrt{2}$π+$\frac{π}{3}$×[($\sqrt{2}$)²+$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$+(2$\sqrt{2}$)²]×$\sqrt{2}$−$\frac{1}{3}$×($\sqrt{2}$)²×$\sqrt{2}$π=$\frac{28\sqrt{2}}{3}$π，故D正确．故选BCD．

易错警示
几何体的表面积是各个面的面积之和，因此，求组合体的表面积时切忌直接套用柱体、锥体、台体、球体的表面积公式，而应先分析该几何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选择公式求解．

4. [2024·太原一中月考]分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是(C)

A.相交
B.异面
C.异面或相交
D.平行

答案：
4．C【解析】分两类进行讨论．
①若两条直线与两异面直线的交点有4个，如图1，直线
AB与异面直线a，b分别相交于点A，B，直线CD与异面直线a，b分别相交于点C，D，那么A，B，C，D四点不可能共面，否则与a，b异面矛盾，故直线AB与CD异面；
　　
②若两条直线与两异面直线的交点有3个，如图2，两条直线相交．故选C．
误区警示
解题时易忽略两条直线与两异面直线的交点有3个的情况，认为交点只有4个，此时两条直线异面，从而错选B．
在立体几何中，空间点、直线、平面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题．在判断两条直线的位置关系时，可通过画出相关图形帮助分析．

5. [2024·成都七中月考]四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是平行四边形，过此四棱柱任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB₁D₁平行的直线共有(D)

A.4条
B.6条
C.8条
D.12条

答案：
5．D【解析】如图，设E，F，H，
G，P，Q，M，N分别为所在棱
的中点，因为P，N分别是

C₁D₁，B₁C₁的中点，所以PN//
B₁D₁．因为PN⊄平面
DBB₁D₁，B₁D₁⊂平面DBB₁D₁，
所以PN//平面DBB₁D₁．同理可证GF//平面
DBB₁D₁．因为四边形BCC₁B₁是平行四边形，N，F分别是B₁C₁，BC的中点，所以四边形BB₁NF是平行四边形，所以NF//BB₁．又因为NF⊄平面DBB₁D₁，BB₁⊂平面DBB₁D₁，所以NF//平面DBB₁D₁．同理可证PG//平面DBB₁D₁．又因为PN∩NF=N，所以平面PNFG//平面DBB₁D₁．因为PF⊂平面PNFG，NG⊂平面PNFG，所以PF//平面DBB₁D₁，NG//平面
DBB₁D₁．同理可证QM，ME，EH，HQ，QE，MH也与平面DBB₁D₁平行，共有12条直线．
易错警示
本题易忽视两个平面平行，其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行，从而漏掉PF，NG，HM，QE四条与平面DBB₁D₁平行的直线，导致错解．

6. [2024·重庆巴蜀中学月考]如图，点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁上运动，有下面四个结论：①三棱锥A-D₁PC的体积不变；②A₁P//平面ACD₁；③DP⊥BC₁；④平面PDB₁⊥平面ACD₁。其中结论正确的有①②④。(填序号)

答案：
6．①②④【解析】如图1，连接AC，A₁C₁，A₁B，A₁P，
AD₁，D₁C．因为AA₁//CC₁，AA₁=CC₁，所以四边形
AA₁C₁C是平行四边形，所以AC//A₁C₁．又因为AC⊄平面A₁BC，A₁C₁⊂平面A₁BC，所以AC//平面
A₁BC．同理可证AD₁//平面A₁BC，又因为AC⊂平面
ACD₁，AD₁⊂平面ACD₁，且AC∩AD₁=A，所以平面
ACD₁//平面A₁BC．因为A₁P⊂平面A₁BC，所以A₁P//平面ACD₁，故②正确．因为BC//AD₁，所以BC//平面
ACD₁，所以点P到平面ACD₁的距离不变；又因为V三棱锥A₁−D₁PC=V三棱锥P−ACD₁，所以三棱锥A₁−D₁PC的体积不变，故①正确．
　　
如图2，连接DB₁，DC₁，DP．因为DB₁=DC₁，所以当P为
BC₁的中点时才有DP⊥BC₁，故③错误．因为
BB₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB₁．又因为
AC⊥BD，BB₁∩BD=B，所以AC⊥平面BB₁D₁D．连接B₁D．因为B₁D⊂平面BB₁D₁D，所以B₁D⊥AC．同理可证B₁D⊥AD₁．又因为AC⊂平面ACD₁，AD₁⊂平面ACD₁，AC∩AD₁=A，所以B₁D⊥平面ACD₁．又因为B₁D⊂平面PDB₁，所以平面PDB₁⊥平面ACD₁，故④正确．
易错警示
本题易忽视点P在BC₁上运动时，平面PDB₁内的B₁D⊥平面ACD₁，导致无法证明平面PDB₁⊥平面
ACD₁而漏填④．
一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．线线垂直、线面垂直和面面垂直之间是可以相互转化的，应准确掌握，灵活应用．

7. [2024·南宁一中月考]如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$。

答案：
7．$\frac{\sqrt{3}}{4}$【解析】如图，作AO⊥β于点
O，作AC⊥l于点C，连接OB，
OC，则OC⊥l．设AB与β所成的
角为θ，则∠ABO=θ．由图得
sinθ=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AC}{AB}$·$\frac{AO}{AC}$=sin30°·sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
易错警示
对于异面直线所成角、线面角、二面角等空间角问题，一定要紧扣概念，注意角度的范围并能正确作出空间角．

8. [2024·重庆八中月考]正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，则异面直线AB₁与BC₁所成的角的余弦值是$\frac{1}{4}$。

答案：
8．$\frac{1}{4}$【解析】设该三棱柱的棱长为2，
如图，取AB，BB₁，B₁C₁，BC的中点
分别为L，M，N，P，连接LM，MN，
LN，则AB₁//LM，BC₁//MN，设直
线AB₁与BC₁所成的角为α，
则cosα=|cos∠LMN|，
连接LP，PN，易知NP⊥LP，LP=1，NP=2，
所以LN=√5．易知LB=BM=1，∠LBM=90°，
所以LM=√2，同理MN=$\sqrt{2}$．
在△LMN中，由余弦定理的推论得cos∠LMN=
$\frac{2+2-5}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=−$\frac{1}{4}$，所以cosα=|cos∠LMN|=$\frac{1}{4}$．
易错警示
异面直线所成的角的范围是(0，$\frac{π}{2}$]，在利用余弦定理求异面直线所成的角时，若出现角的余弦值为负值，不可错误地得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角．