《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·麻城一中月考](多选)已知$\lambda,\mu\in\mathbf{R}$，$\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0}$，则下列说法正确的有(ABCD)

A.当$\lambda\lt0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a}$的方向一定相反
B.当$\lambda\gt0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a}$的方向一定相同
C.当$\lambda\neq0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a}$是共线向量
D.当$\lambda\mu\gt0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$与$\mu\boldsymbol{a}$的方向一定相同

答案： 1.ABCD[解析]根据实数 $\lambda$ 与向量 $a$ 的乘积 $\lambda a$ 的方向的规定，可知A，B，C都正确；对于D，由 $\lambda\mu＞0$，可得 $\lambda$，$\mu$ 同为正数或同为负数，所以 $\lambda a$ 和 $\mu a$ 都与 $a$ 同向，或者都与 $a$ 反向，所以 $\lambda a$ 与 $\mu a$ 是同向的，故D正确. 故选ABCD.

2. [2024·桂林一中月考]已知$\lambda\in\mathbf{R}$，则下列命题正确的是(C)

A.$|\lambda\boldsymbol{a}|=\lambda|\boldsymbol{a}|$
B.$|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda|\boldsymbol{a}$
C.$|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{a}|$
D.$|\lambda\boldsymbol{a}|\gt0$

答案： 2.C[解析]当 $\lambda＜0$ 时，$|\lambda a|=\lambda|a|$ 不成立，故A错误；$|\lambda a|$ 是一个非负实数，而 $|\lambda|a$ 是一个向量，故B错误；当 $\lambda=0$ 或 $a=0$ 时，$|\lambda a|=0$，故D错误. 故选C.

3. [2024·成都七中月考]已知向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相反，且$|\boldsymbol{a}|=r$，$|\boldsymbol{b}|=R$，$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$，则$\lambda=$(C)

A.$\frac{r}{R}$
B.$-\frac{r}{R}$
C.$-\frac{R}{r}$
D.$\frac{R}{r}$

答案： 3.C[解析]因为 $b=\lambda a$，$|a|=r$，$|b|=R$，所以 $|b|=|\lambda||a|$. 又 $a$ 与 $b$ 方向相反，所以 $\lambda=-\frac{R}{r}$.

4. [2024·南阳一中月考]将$\frac{1}{12}[2(2\boldsymbol{a}+8\boldsymbol{b})-4(4\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})]$化成最简形式为(B)

A.$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$
B.$2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$
C.$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$

答案： 4.B[解析]$\frac{1}{12}[2(2a+8b)-4(4a-2b)]=\frac{1}{12}(4a+16b-16a+8b)=\frac{1}{12}(-12a+24b)=-a+2b$. 故选B.

5. 若$2(\boldsymbol{x}-\frac{1}{3}\boldsymbol{a})-\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-3\boldsymbol{x})+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$，其中$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$为已知向量，则向量$\boldsymbol{x}=$$\frac{4}{21}\boldsymbol{a}-\frac{1}{7}\boldsymbol{b}+\frac{1}{7}\boldsymbol{c}$。

答案： 5.$\frac{4}{21}a-\frac{1}{7}b+\frac{1}{7}c$[解析]由题意知 $2x-\frac{2}{3}a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c+\frac{3}{2}x+b=0$，所以 $\frac{7}{2}x=\frac{2}{3}a-\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c$，所以 $x=\frac{4}{21}a-\frac{1}{7}b+\frac{1}{7}c$.

6. [2024·曲靖一中月考]若向量$\boldsymbol{a}=3\boldsymbol{i}-4\boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{b}=5\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}$，则$(\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})-3(\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b})+(2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=$$-16\boldsymbol{i}+\frac{32}{3}\boldsymbol{j}$。

答案： 6.$-16i+\frac{32}{3}j$[解析]$(\frac{1}{3}a-b)-3(a+\frac{2}{3}b)+(2b-a)=\frac{1}{3}a-b-3a-2b+2b-a=-\frac{11}{3}a-b=-\frac{11}{3}(3i-4j)-(5i+4j)=-11i+\frac{44}{3}j-5i-4j=-16i+\frac{32}{3}j$.

7. [2024·湖南师大附中期中]已知$D$是$\triangle ABC$所在平面内一点，满足$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AD}=$(C)

A.$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
B.$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
C.$\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$
D.$\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$

答案： 7.C[解析]因为 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$，所以 $2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\frac{8}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，即 $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$. 故选C.

8. [2024·宁波一中期末]如图所示，在梯形$ABCD$中，已知$AB// CD$，$AB=2DC$，点$P$在线段$BC$上，且$BP=2PC$，则(C)

A.$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
B.$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
C.$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$
D.$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$

答案： 8.C[解析]因为 $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，所以 $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，所以 $\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$. 故选C.

9. 如图，圆$O$是等边三角形$ABC$的外接圆，$D$为劣弧$AC$的中点，则$\overrightarrow{OD}=$(A)

A.$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
B.$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
C.$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
D.$\frac{4}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

答案：
9.A[解析]如图，连接 $BO$，易知 $B$，$O$，$D$ 在一条直线上，设 $OD$ 与 $AC$ 的交点为 $E$，则 $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. 故选A.

10. [2024·邢台一中月考]正五角

星

是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。在如图所示的正五角星中，$\frac{PT}{AT}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则下列关系中正确的是(A)

A.$\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{TS}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\overrightarrow{RS}$
B.$\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{TP}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\overrightarrow{TS}$
C.$\overrightarrow{ES}-\overrightarrow{AP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{BQ}$
D.$\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BQ}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{CR}$

答案： 10.A[解析]在A中，$\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{TE}-\overrightarrow{TS}=\overrightarrow{SE}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\overrightarrow{RS}$，故A正确；在B中，$\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TA}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\overrightarrow{ST}$，故B错误；在C中，$\overrightarrow{ES}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{RC}-\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{RQ}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{QB}$，故C错误；在D中，$\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{RD}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{CR}=\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RD}-\overrightarrow{SD}$，若 $\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BQ}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\overrightarrow{CR}$，则 $\overrightarrow{SD}=0$，不合题意，故D错误. 故选A.