《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

10. [2024·拉萨一中期中]如图，在山脚A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达D点，又测得山顶仰角∠EDB＝75°，则山高BC＝(B)

A.500 m
B.1 000 m
C.1 200 m
D.1 500 m

答案： 10.B 【解析】由题意，$AD = 1000$，$\angle BAD = 45° - 30° = 15°$，$\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 45° - 15° = 30°$，$\angle ADB = 180° - 15° - 30° = 135°$，在$\triangle ADB$中，由正弦定理可得，$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB}$，则$AB = 1000 × \frac{\sin 135°}{\sin 30°} = 1000\sqrt{2}(m)$，故$BC = AB \sin 45° = 1000(m)$.故选B.

11. [2024·济宁一中月考]如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是(B)

A.30°
B.45°
C.60°
D.75°

答案： 11.B 【解析】由题意得，$AD^2 = 60^2 + 20^2 = 4000$，$AC^2 = 60^2 + 30^2 = 4500$.在$\triangle CAD$中，由余弦定理的推论，得$\cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2AD · AC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\angle CAD = 45°$.故选B.

12. [2024·太原五中月考](多选)如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos∠AOB＝-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，则(BCD)

A.此山的高PO＝√3 km
B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°
C.PA＝2 km
D.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为$\frac{20\sqrt{111}}{111}$

答案： 12.BCD 【解析】由题意可得$\angle OAP = 30°$，$\angle OBP = 45°$，设$OP = x km$.由于$OP \perp OA$，$OP \perp OB$，故$OA = \sqrt{3}x km$，$OB = x km$.因为$AB = 7.5 × \frac{1}{60} × 20 = \frac{5}{2}(km)$，所以$\cos \angle AOB = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2OA · OB} = \frac{4x^2 - \frac{25}{4}}{2\sqrt{3}x^2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$，解得$x = 1$，从而$PA = 2 km$.易知$\sin \angle AOB = \frac{\sqrt{37}}{8}$，所以由等面积法可得$O$到$AB$的距离$h = \frac{\sqrt{111}}{20} km$，则最大仰角的正切值为$\frac{PO}{h} = \frac{20\sqrt{111}}{111}$.又$AO ＞ BO$，所以最小仰角为$30°$.故选BCD.

13. [2024·长春六中期中]如图，在某海岸A处，发现北偏东30°方向、距离A处1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西60°的方向、距离A处√3海里的C处的缉私船奉命以5√3海里/时的速度追截走私船.此时，走私船正以5海里/时的速度从B处按照北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.(填方位角)

答案：
13.北偏东$60°$ 【解析】如图，设缉私船在$D$处追上走私船，所用时间为$t$小时，则$CD = 5\sqrt{3}t$，$BD = 5t$，由题意可知$\angle CAD = 90°$，$AC = \sqrt{3}$，$AB = 1$，所以$AD = 5t + 1$.由勾股定理可得$(5t + 1)^2 + 3 = 75t^2$，解得$t = \frac{2}{5}$或$t = -\frac{1}{5}$(舍).所以$AD = 3$，故$\tan \angle DCA = \frac{AD}{AC} = \sqrt{3}$，所以$\angle DCA = 60°$，所以$\angle NCD = 60°$.

14. [2024·南宁三中期中]如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一所学校，现拟在两条公路之间的区域内建一个工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足∠BAC＝∠PMN＝75°，MN＝（√6 + √2）km，PM＝2√3 km，设∠AMN＝θ.
（1）试用θ表示AM，并写出θ的取值范围；
（2）当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）？

答案： 14.
(1)在$\triangle AMN$中，由正弦定理得$\frac{MN}{\sin 75°} = \frac{AM}{\sin(75° + \theta)}$.因为$\sin 75° = \sin(30° + 45°) = \sin 30° \cos 45° + \sin 45° \cos 30° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，所以$AM = 4 \sin(75° + \theta)(0° ＜ \theta ＜ 105°)$.
(2)连接$AP$(图略).在$\triangle APM$中，由余弦定理得$AP^2 = AM^2 + MP^2 - 2AM · MP \cos \angle AMP = 16 \sin^2(75° + \theta) + 12 - 16\sqrt{3} \sin(75° + \theta) \cos(75° + \theta) = 8[1 - \cos(2\theta + 150°)] - 8\sqrt{3} \sin(2\theta + 150°) + 12 = 20 - 8[\sqrt{3} \sin(2\theta + 150°) + \cos(2\theta + 150°)] = 20 - 16 \sin(2\theta + 180°) = 20 + 16 \sin 2\theta (0° ＜ \theta ＜ 105°)$，当且仅当$2\theta = 90°$，即$\theta = 45°$时，$AP^2$取得最大值$36$，即$AP$取得最大值$6$.所以当$\theta = 45°$时，工厂产生的噪声对学校的影响最小.