《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. 复数 $ z = (1 - i)^2i $(i 为虚数单位)等于(A)

A.2
B.2i
C.-2
D.-2i

答案： 1.A 【解析】$z=(1-i)^2i=-2i· i=2$.故选A.

2. 已知复数 $ z $ 满足 $ z\overline{z} + 2iz = 8 + 6i $，则复数 $ z $ 的实部与虚部的和为4。

答案： 2.4 【解析】设$z=a+bi(a,b\in \mathbf{R})$，则$\overline{z}z=a^2+b^2$，所以$a^2+b^2+2i(a+bi)=8+6i$，即$a^2+b^2-2b+2ai=8+6i$，
所以$\begin{cases}a^2+b^2-2b=8,\\2a=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=1,\end{cases}$所以$a+b=4$，即复数$z$的实部与虚部的和是4.

3. [2024·徐州一中期中]已知复数 $ \omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $(i 是虚数单位)，则 $ \omega^3 - 2 = $-1。

答案： 3.-1 【解析】因为$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，所以$\omega^3 - 2=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^3 - 2=(-\frac{1}{2})^3+3× (-\frac{1}{2})^2× \frac{\sqrt{3}}{2}i+3× (-\frac{1}{2})× (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}i)^3 - 2=-\frac{1}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}i+\frac{9}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{8}i - 2=-1$.

4. [2024·枣庄八中月考]在复平面内，复数 $ \frac{10i}{3 + i} $ 对应的点的坐标为(A)

A.$ (1,3) $
B.$ (3,1) $
C.$ (-1,3) $
D.$ (3,-1) $

答案： 4.A 【解析】因为$\frac{10i}{3+i}=\frac{10i(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)}=\frac{10(1 + 3i)}{10}=1 + 3i$，
所以该复数对应的点为$(1,3)$.

5. [2024·吉林一中月考]若复数 $ z = 3 + \frac{3 + 4i}{4 - 3i} $(i 为虚数单位)，则 $ |z| = $(B)

A.3
B.$ \sqrt{10} $
C.$ \sqrt{13} $
D.4

答案： 5.B 【解析】复数$z = 3+\frac{3 + 4i}{4 - 3i}=3+\frac{(3 + 4i)(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)}=3+\frac{25i}{25}=3 + i$，则$\vert z\vert=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$.

6. 计算：(1) $ \frac{3 - i}{1 + i} = $1-2i；
(2) $ \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{2}i)^2(4 + 5i)}{(5 - 4i)(1 - i)} = $-2-2i；
(3) $ \frac{\sqrt{2}i(-4 + 3i)(1 - i)}{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)(1 + 2i)} = $-\frac{9\sqrt{2}}{20}+\frac{13\sqrt{2}}{20}i。

答案： 6.
(1)$1-2i$
(2)$-2-2i$
(3)$-\frac{9\sqrt{2}}{20}+\frac{13\sqrt{2}}{20}i$
【解析】
(1)$\frac{3 - i}{1 + i}=\frac{(3 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=\frac{2 - 4i}{2}=1-2i$.
(2)$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{2}i)^2(4 + 5i)}{(5 - 4i)(1 - i)}=\frac{4i(4 + 5i)}{1-9i}=\frac{-20+16i}{1-9i}=\frac{-4(5-4i)(1+9i)}{82}=\frac{-4(41+41i)}{82}=-2-2i$.
(3)$\frac{\sqrt{2}i(-4+3i)(1-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)(1+2i)}=\frac{(-3\sqrt{2}-4\sqrt{2}i)(1-i)}{4(1+2i)}=\frac{-7\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{4(1+2i)}=\frac{(-7\sqrt{2}-\sqrt{2}i)(1-2i)}{4(1+2i)(1-2i)}=\frac{-9\sqrt{2}+13\sqrt{2}i}{20}=-\frac{9\sqrt{2}}{20}+\frac{13\sqrt{2}}{20}i$.

7.(多选)对于实系数一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $($ a,b,c \in \mathbf{R},a \neq 0 $)，在复数范围内的解是 $ x_1,x_2 $，下列结论中正确的有(AC)

A.若 $ b^2 - 4ac = 0 $，则 $ x_1,x_2 \in \mathbf{R} $ 且 $ x_1 = x_2 $
B.若 $ b^2 - 4ac \lt 0 $，则 $ x_1 \notin \mathbf{R},x_2 \notin \mathbf{R} $ 且 $ \overline{x_1} = \overline{x_2} $
C.一定有 $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},x_1x_2 = \frac{c}{a} $
D.一定有 $ (x_1 - x_2)^2 = \frac{|b^2 - 4ac|}{a^2} $

答案： 7.AC 【解析】对于A，当$b^2-4ac=0$时，$x_1=x_2=\frac{b}{2a}\in \mathbf{R}$，故A正确；对于B，当$b^2-4ac＜0$时，$x_1=\frac{-b-i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a},x_2=\frac{-b+i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}$，则$x_1\notin \mathbf{R},x_2\notin \mathbf{R}$，且$x_1\neq x_2$，故B错误；对于C，由一元二次方程根与系数的关系可得$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$，故C正确；对于D，$(x_1-x_2)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}$，故D错误.故选AC.

8. [2024·衡水中学期中]如果关于 $ x $ 的方程 $ 2x^2 + 3ax + a^2 - a = 0 $ 至少有一个模为 1 的根，那么实数 $ a $ 的值(C)

A.不存在
B.有一个
C.有三个
D.有四个

答案： 8.C 【解析】当根为实数时，将$x=1$代入原方程得$a^2+2a+2=0$，此方程无实数解.将$x=-1$代入原方程得$a^2-4a+2=0$，解得$a=2\pm\sqrt{2}$，都符合要求.当根为虚数时，$\Delta=a(a+8)＜0$，所以$-8＜a＜0$.此时有$x_1x_2=|x_1|^2=|x_2|^2=1=\frac{a^2-a}{2}$，可得$a^2-a-2=0$，解得$a=-1$或$a=2$(舍去).故实数$a$的值共有三个.

9. [2024·洛阳检测]已知关于 $ x $ 的实系数一元二次方程 $ x^2 + ax + b = 0 $（$ a,b \in \mathbf{R} $）。
(1) 若存在模为 1 的虚数根，求 $ a,b $ 满足的条件；
(2) 设 $ a = b = 2,z_0 $ 是虚数根，记 $ z_0,z_0^2,z_0 - z_0^2 $ 在复平面内对应的点分别为 $ A,B,C $，$ O $ 为坐标原点，求 $ (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) · \overrightarrow{OC} $ 的值。

答案： 9.
(1)设模为1的虚数根为$x=m+ni,m,n\in \mathbf{R},n\neq0$，且$m^2+n^2=1$，则实系数一元二次方程$x^2+ax+b=0$的两根为$m-ni,m+ni$，
所以$\begin{cases}(m-ni)+(m+ni)=-a,\\(m-ni)×(m+ni)=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2m,\\b=m^2+n^2=1.\end{cases}$
又$n\neq0$，所以$m\in(-1,1)$，
故$a\in(-2,2),b=1$.
(2)若$a=b=2$，则方程$x^2+2x+2=0$的根为$-1-i,-1+i$.
若$z_0=-1-i$，则$z_0^2=2i,z_0-z_0^2=-1-3i$，
则$A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3)$，所以$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})·\overrightarrow{OC}=(-1,1)·(-1,-3)=-2$.
若$z_0=-1+i$，则$z_0^2=-2i,z_0-z_0^2=-1+3i$，
则$A(-1,1),B(0,-2),C(-1,3)$，所以$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})·\overrightarrow{OC}=(-1,-1)·(-1,3)=-2$.
故$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})·\overrightarrow{OC}=-2$.

10. [2024·重庆一中月考](多选)已知集合 $ M = \{ m|m = i^n,n \in \mathbf{N} \} $，其中 i 为虚数单位，则下列元素属于集合 $ M $ 的有(BC)

A.$ (1 - i)(1 + i) $
B.$ \frac{1 - i}{1 + i} $
C.$ \frac{1 + i}{1 - i} $
D.$ (1 - i)^2 $

答案： 10.BC 【解析】根据题意，在$M=\{m\mid m=i^n,n\in \mathbf{N}\}$中，当$n=4k(k\in \mathbf{N})$时，$i^n=1$；当$n=4k+1(k\in \mathbf{N})$时，$i^n=i$；当$n=4k+2(k\in \mathbf{N})$时，$i^n=-1$；当$n=4k+3(k\in \mathbf{N})$时，$i^n=-i$，所以$M=\{-1,1,i,-i\}$.A中，$(1-i)(1+i)=(1-i)^2=-2i\notin M$；B中，$\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{-2i}{2}=-i\in M$；C中，$\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i\in M$；D中，$(1-i)^2=-2i\notin M$.故选BC.

11.(多选)已知复数 $ z $ 满足 $ i^{2k + 1}z = 2 + i $($ k \in \mathbf{N} $)，则 $ z $ 在复平面内对应的点可能位于(BD)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 11.BD 【解析】因为$i^{2k+1}z=2+i$，所以$z=\frac{2+i}{i^{2k+1}}$.因为$i^{2k+1}=i· i^{2k}=i· (-1)^k$，所以当$k$为奇数时，$i^{2k+1}=i· (-1)=-i$，则$z=\frac{2+i}{-i}=-1+2i$，在复平面内对应的点为$(-1,2)$，位于第二象限；当$k$为偶数时，$i^{2k+1}=i· 1=i$，则$z=\frac{2+i}{i}=1-2i$，在复平面内对应的点为$(1,-2)$，位于第四象限.故复数$z$在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限.故选BD.