《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·内蒙古赤峰模拟](多选)对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件,其中可以判定α与β平行的条件有(AD)

A.存在平面γ,使得α,β都平行于γ
B.存在平面γ,使得α,β都垂直于γ
C.α内有不共线的三点到β的距离相等
D.存在异面直线l,m,使得l//α,l//β,m//α,m//β

答案： 1.AD[解析]对于A，存在平面$\gamma$，使得$\alpha,\beta$都平行于$\gamma$，所以两个平面平行，所以A正确。对于B，设正方体的一个底面为$\gamma$，两个相邻侧面分别为$\alpha,\beta$，满足$\alpha \perp \gamma,\beta \perp \gamma$，但$\alpha \perp \beta$，所以B不正确。对于C，不能判定$\alpha$与$\beta$平行，如$\alpha$内不共线的三点不在$\beta$的同一侧时，$\alpha$与$\beta$相交，所以C不正确。对于D，可以判定$\alpha$与$\beta$平行，可在平面$\alpha$内作$l' // l,m' // m$，则$l'$与$m'$必相交。又因为$l // \beta,m // \beta$，所以$l' // \beta,m' // \beta$，所以$\alpha // \beta$，所以D正确。故选AD。

2. [2024·湛江一中月考]如图,设E,F,E₁,F₁分别是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB,CD,A₁B₁,C₁D₁的中点,则平面EFD₁A₁与平面BCF₁E₁的位置关系是(A)

A.平行
B.相交但不垂直
C.垂直
D.不确定

答案： 2.A[解析]因为$E_1$和$F_1$分别是$A_1B_1$和$C_1D_1$的中点，所以$A_1D_1 // E_1F_1$。又因为$A_1D_1 \not\subset$平面$BCF_1E_1$，$E_1F_1 \subset$平面$BCF_1E_1$，所以$A_1D_1 //$平面$BCF_1E_1$。又因为$E_1$和$E$分别是$A_1B_1$和$AB$的中点，所以$A_1E_1 // BE$，且$A_1E_1 = BE$，所以四边形$A_1EBE_1$是平行四边形，所以$A_1E // BE_1$。又因为$A_1E \not\subset$平面$BCF_1E_1$，$BE_1 \subset$平面$BCF_1E_1$，所以$A_1E //$平面$BCF_1E_1$。因为$A_1E \subset$平面$EFDA_1$，$A_1D_1 \subset$平面$EFDA_1$，$A_1E \cap A_1D_1 = A_1$，所以平面$EFDA_1 //$平面$BCF_1E_1$。

3. [2024·日照一中月考]如图所示,在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中,底面ABCD是梯形,AB//CD,CD=2AB,P,Q分别是CC₁,C₁D₁的中点,求证:平面AD₁C//平面BPQ.

答案： 3.证明：由题意知$D_1Q // \frac{1}{2}CD$，$AB // \frac{1}{2}CD$，所以$D_1Q // AB$，所以四边形$D_1QBA$为平行四边形，所以$D_1A // QB$。因为$Q$，$P$分别为$C_1D_1$，$CC_1$的中点，所以$QP // D_1C$。又$D_1C \cap D_1A = D_1$，$QP \cap QB = Q$，$D_1C$，$D_1A \subset$平面$AD_1C$，$QP$，$QB \subset$平面$BPQ$，所以平面$AD_1C //$平面$BPQ$。

4. 两个平行平面与另外两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(A)

A.两相互平行
B.两两相交于一点
C.两两相交但不一定交于同一点
D.两两相互平行或交于同一点

答案：
4.A[解析]根据题意作图，如图所示，$\alpha // \beta$，$\alpha \cap \gamma = m$，$\beta \cap \gamma = n$，根据平面与平面平行的性质定理可得$m // n$，同理可得其他几条交线相互平行，故两个平行平面与另外两个平行平面相交所得四条交线两两平行。故选A。

5. [2024·贵州师大附中期末](多选)如图,一张矩形白纸ABCD,AB=10,AD=10√{2},E,F分别为AD,BC的中点,BE交AC于点G,DF交AC于点H.现分别将△ABE,△CDF沿BE,DF折起,且点A,C在平面BFDE同侧,则下列命题为真命题的有(AD)

A.当平面ABE//平面CDF时,AC//平面BFDE
B.当平面ABE//平面CDF时,AE//CD
C.当A,C重合于点P时,PG⊥PD
D.当A,C重合于点P时,三棱锥P-DEF的外接球的表面积为150π

答案： 5.AD[解析]在$\triangle ABE$中，$\tan \angle ABE = \frac{\sqrt{2}}{2}$，在$\triangle ACD$中，$\tan \angle DAC = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\angle ABE = \angle DAC$。又$\angle BEA = \angle AEG$，所以$\triangle ABE \sim \triangle GAE$，所以$\angle AGE = \angle BAE = 90^{\circ}$。由题意，将$\triangle ABE$，$\triangle CDF$沿$BE$，$DF$折起，且点$A$，$C$，$G$，$H$四点在同一平面内，平面$ABE \cap$平面$AGHC = AG$，平面$CDF \cap$平面$AGHC = CH$，当平面$ABE //$平面$CDF$时，$AG // CH$，显然，$AG = CH$，所以四边形$AGHC$是平行四边形，所以$AC // GH$。又$AC \not\subset$平面$BFDE$，$GH \subset$平面$BFDE$，所以$AC //$平面$BFDE$，所以A为真命题。
由A知，$BE // DF$，但$\angle AEB \neq \angle CDF$，故由空间等角定理可知$AE$与$CD$不平行，所以B为假命题。当$A$，$C$重合于点$P$时，可得$PG = \frac{10\sqrt{3}}{3}$，$PD = 10$，连接$GD$(图略)，$GD = 10$，则$PG^{2} + PD^{2} \neq GD^{2}$，所以$PG$和$PD$不垂直，所以C为假命题。当$A$，$C$重合于点$P$时，在三棱锥$P - DEF$中，$\triangle EFD$和$\triangle PFD$均为直角三角形，所以$DF$为三棱锥$P - DEF$的外接球的直径。易知$DF = 5\sqrt{6}$，则三棱锥$P - DEF$的外接球的表面积为$4\pi × (\frac{5\sqrt{6}}{2})^{2} = 150\pi$，所以D为真命题。故选AD。

6. [2024·南宁三中月考]如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为平行四边形.

答案： 6.平行四边形[解析]因为平面$ABFE //$平面$DCGH$，平面$EFGH \cap$平面$ABFE = EF$，平面$EFGH \cap$平面$DCGH = HG$，所以$EF // HG$。同理，$EH // FG$，所以四边形$EFGH$是平行四边形。

7. [2024·天津一中月考]给出下列说法:
①若平面α//平面β,平面β//平面γ,则α//γ;
②若平面α//平面β,直线a与α相交,则a与β相交;
③若平面α//平面β,P∈α,PQ//β,则PQ⊂α;
④若直线a//平面β,直线b//平面α,且α//β,则a//b.
其中正确说法的序号有①②③.

答案：
7.①②③[解析]①符合面面平行的定义，①正确。假设直线$a$与平面$\beta$平行或直线$a \subset \beta$，则由平面$\alpha //$平面$\beta$，知$a \subset \alpha$或$a // \alpha$，这与直线$a$与$\alpha$相交矛盾，所以$a$与$\beta$相交，②正确。
如图，过直线$PQ$作平面$\gamma$，$\gamma \cap \alpha = a$，$\gamma \cap \beta = b$，由$\alpha // \beta$，得$a // b$。因为$PQ // \beta$，$PQ \subset \gamma$，所以$PQ // b$。因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线$a$与直线$PQ$重合。因为$a \subset \alpha$，所以$PQ \subset \alpha$，③正确。若直线$a //$平面$\beta$，直线$b //$平面$\alpha$，且$\alpha // \beta$，则$a$与$b$平行、相交和异面都有可能，④不正确。所以正确的说法的序号有①②③。