《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

15. [2024·重庆巴蜀中学月考]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，若$c=6\sqrt{3}$，$b=4\sqrt{3}$，$B=\frac{\pi}{6}$，则$\triangle ABC$(C)

A.无解
B.有一解
C.有两解
D.解的个数无法确定

答案： 15.C[解析]因为$c\sin B = 6\sqrt{3} × \frac{1}{2}=3\sqrt{3}$，且$b = 4\sqrt{3}$，所以$c\sin B ＜ b ＜ c$，所以$\triangle ABC$有两解.

16. [2024·陕西师大附中期末]已知在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$b=2$，$B=30^{\circ}$，若三角形有两解，则$a$的取值范围是(D)

A.$a＞2$
B.$0＜a＜2$
C.$2＜a＜2\sqrt{2}$
D.$2＜a＜4$

答案： 16.D[解析]因为在$\triangle ABC$中，$b = 2$，$B = 30^{\circ}$，若三角形有两解，则有$\sin B ＜ \sin A ＜ 1$，即$\sin B ＜ \frac{a\sin B}{b} ＜ 1$，即$b ＜ a ＜ \frac{b}{\sin B}$，所以$2 ＜ a ＜ 4$.故选D

17. [2024·日照一中月考](多选)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$.根据下列条件解三角形，其中有两解的有(BC)

A.$b=10$，$A=45^{\circ}$，$C=70^{\circ}$
B.$b=45$，$c=48$，$B=60^{\circ}$
C.$a=14$，$b=16$，$A=45^{\circ}$
D.$a=7$，$b=5$，$A=80^{\circ}$

答案： 17.BC[解析]对于A，因为$A = 45^{\circ}$，$C = 70^{\circ}$，所以$B = 65^{\circ}$，三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于B，因为$\sin C = \frac{c\sin B}{b}=\frac{8\sqrt{3}}{15} ＜ 1$，且$c ＞ b$，所以角$C$有两解；对于C，因为$\sin B = \frac{bsinA}{a}=\frac{4\sqrt{2}}{7} ＜ 1$，且$b ＞ a$，所以角$B$有两解；对于D，因为$\sin B = \frac{bsinA}{a}＜1$，且$b ＜ a$，所以角$B$仅有一解.故选BC;

18. [2024·上海曹杨二中期中]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$a=4$，$B=30^{\circ}$，要使该三角形有唯一解，则$b$的取值范围为$[4, + \infty) \cup \{2\}$.

答案： 18.$[4, + \infty) \cup \{2\}$　[解析]由$a = 4$，$B = 30^{\circ}$及正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，可得$b = \frac{2}{\sin A}$.因为$A + C = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$，且三角形只有一解，所以$A$只有一个值，即$0^{\circ} ＜ A \leq 30^{\circ}$或$A = 90^{\circ}$，所以$0 ＜ \sin A \leq \frac{1}{2}$或$\sin A = 1$，所以$2 \leq \frac{1}{\sin A}$或$\frac{1}{\sin A} = 1$.所以$b$的取值范围为$[4, + \infty) \cup \{2\}$.

1. 已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，若$\frac{c}{\sin B}+\frac{b}{\sin C}=2a$，则$\triangle ABC$是(B)

A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形

答案： 1.B　[解析]由$\frac{c}{\sin B}+\frac{b}{\sin C}=2a$可得$\frac{\sin C}{\sin B}+\frac{\sin B}{\sin C}=2\sin A$.因为$A$，$B$，$C$为$\triangle ABC$的内角，所以$\sin A ＞ 0$，$\sin B ＞ 0$，$\sin C ＞ 0$，所以$2\sin A = \frac{\sin C}{\sin B}+\frac{\sin B}{\sin C} \geq 2\sqrt{\frac{\sin C}{\sin B} · \frac{\sin B}{\sin C}} = 2$，当且仅当$\sin B = \sin C$时，等号成立.又$2\sin A \leq 2$，所以$\sin A = 1$，所以$B = C$，$A = \frac{\pi}{2}$.故选B.

2. [2024·保定一中期中]在$\triangle ABC$中，若$\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$，则$\triangle ABC$是(A)

A.等腰直角三角形
B.有一个内角是$30^{\circ}$的直角三角形
C.等边三角形
D.有一个内角是$30^{\circ}$的等腰三角形

答案： 2.A[解析]在$\triangle ABC$中，$\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$，由正弦定理，可得$\frac{\sin A}{\sin A}=\frac{\cos B}{\sin B}=\frac{\cos C}{\sin C}$，即$\sin B = \cos B$，$\sin C = \cos C$，所以$B = C = 45^{\circ}$，所以$A = 90^{\circ}$，故$\triangle ABC$为等腰直角三角形.故选A.

3. [2024·厦门一中月考]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$a\cos B+a\cos C=b+c$，则$\triangle ABC$是(D)

A.等边三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形

答案： 3.D[解析]因为$a\cos B + a\cos C = b + c$，所以由正弦定理，得$\sin A\cos B + \sin A\cos C = \sin B + \sin C = \sin(A + C) + \sin(A + B)$，化简得$\cos A(\sin B + \sin C) = 0$.又$\sin B + \sin C ＞ 0$，所以$\cos A = 0$，即$A = \frac{\pi}{2}$，所以$\triangle ABC$为直角三角形.

4. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$.若$\frac{c}{b}＜\cos A$，则$\triangle ABC$是(A)

A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形

答案： 4.A[解析]因为$\frac{c}{b} ＜ \cos A$，由正弦定理得$\frac{\sin C}{\sin B} ＜ \cos A$，即$\sin C ＜ \sin B\cos A$，所以$\sin(A + B) ＜ \sin B\cos A$，即$\sin B\cos A + \cos B\sin A - \sin B\cos A ＜ 0$，所以$\cos B\sin A ＜ 0$.又因为$\sin A ＞ 0$，所以$\cos B ＜ 0$，所以$B$为钝角，所以$\triangle ABC$是钝角三角形.

5. [2024·深圳中学月考]在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，$B=\frac{2\pi}{3}$，$b=2\sqrt{3}$，$b^{2}+c^{2}-a^{2}=\sqrt{3}bc$.若$\angle BAC$的平分线与$BC$交于点$E$，则$AE=$(A)

A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{2}$
D.3

答案： 5.A[解析]因为$b^{2} + c^{2} - a^{2} = \sqrt{3}bc$，所以$\cos\angle BAC = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.因为$\angle BAC \in (0,\pi)$，所以$\angle BAC = \frac{\pi}{6}$.又因为$B = \frac{2\pi}{3}$，所以$C = \frac{\pi}{6}$，所以$\frac{c}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{b}{\sin\frac{2\pi}{3}}$，所以$c - \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{2}{\sqrt{3}} = 2$.因为$\overline{AE}$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{\pi}{12}$，所以$\angle AEB = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$，所以$\frac{c}{\sin\angle AEB}=\frac{AE}{\sin B}$，所以$AE = \frac{c}{\sin\angle AEB} · \sin B = \frac{2}{\sin\frac{7\pi}{12}} × \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{2}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$.

6. [2024·长沙一中月考]已知点$M$在$\triangle ABC$的内部，$AB=2\sqrt{6}$，$AC=3$，$\angle BAC=75^{\circ}$，$\angle MAB=\angle MBA=30^{\circ}$，则$MC=$(C)

A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.3

答案：
6.C[解析]如图所示，因为$\angle MAB = \angle MBA = 30^{\circ}$，所以$\angle AMB = 120^{\circ}$，由正弦定理得$AM = \frac{AB\sin\angle MBA}{\sin\angle AMB}=\frac{2\sqrt{6} × \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{2}$.又$\angle BAC = 75^{\circ}$，所以$\angle MAC = 45^{\circ}$.在$\triangle AMC$中，$MC^{2} = AM^{2} + AC^{2} - 2AM · AC\cos\angle MAC = 8 + 9 - 2 × 2\sqrt{2} × 3 × \frac{\sqrt{2}}{2}=5$，所以$MC = \sqrt{5}$.

7. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$\angle B=45^{\circ}$，$D$是$BC$边上一点，$\angle BAD=75^{\circ}$，$DC=1$，$AC=\sqrt{7}$，则$AB=$$\sqrt{6}$.

答案： 7.$\sqrt{6}$　[解析]易知$\angle ADC = 120^{\circ}$，根据余弦定理，可得$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} - 2AD · DC · \cos120^{\circ}$，即$AD^{2} + AD - 6 = 0$，所以$AD = 2$（负值舍去）.又$\angle ADB = 60^{\circ}$，所以根据正弦定理，得$\frac{AB}{\sin60^{\circ}}=\frac{AD}{\sin45^{\circ}}$，即$AB = \frac{AD\sin60^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=\frac{2 × \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$.