《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·白城一中月考]从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(B)

A.α＞β
B.α＝β
C.α＋β＝90°
D.α＋β＝180°

答案：
1.B 【解析】根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示.由图知$\alpha = \beta$.故选B.

2. [2024·铜仁一中月考]若点P在点Q的北偏东44°50'方向上，则点Q在点P的(C)

A.东偏北45°10'方向上
B.北偏东45°50'方向上
C.南偏西44°50'方向上
D.西偏南44°50'方向上

答案：
2.C 【解析】如图所示，点$Q$在点$P$的南偏西$44° 50'$方向上.

3. [2024·邵阳一中周练]若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，在点A处测得点B的方位角是(C)

A.60°
B.120°
C.150°
D.210°

答案：
3.C 【解析】方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角.如图所示，点$B$的方位角是$180° - 30° = 150°$.故选C.

4. [2024·潮州一中期末]两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为(A)

A.2√3 km
B.3√3 km
C.4√3 km
D.5√3 km

答案：
4.A 【解析】作出满足题意的几何图形如图所示，根据图形可知$\angle ACB = 120°$，在$\triangle ABC$中，$AC = BC = 2 km$.由余弦定理得$AB^2 = 2^2 + 2^2 - 2 × 2 × 2 \cos 120° = 12$，即$AB = 2\sqrt{3} km$.所以$A$，$B$之间的距离为$2\sqrt{3} km$.故选A.

5. [2024·乐山一中期末]某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏东60°方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P，C两点的距离为(A)

A.20√7海里
B.$\frac{20\sqrt{7}}{7}$海里
C.20√3海里
D.$\frac{20\sqrt{3}}{3}$海里

答案：
5.A 【解析】如图，过点$P$作$AB$的垂线，垂足为点$E$.由题意得$\angle APB = \angle ABP = 30°$，所以$AP = AB = 30 × \frac{40}{60} = 20(海里)$.在$Rt \triangle PAE$中，$PE = AP \sin 60° = 10\sqrt{3}(海里)$.在$Rt \triangle PBE$中，$PB = \frac{PE}{\sin 30°} = 20\sqrt{3}(海里)$.由已知可得$\angle PBC = 90°$，$BC = 30 × \frac{80}{60} = 40(海里)$，所以在$Rt \triangle PBC$中，$PC = \sqrt{PB^2 + BC^2} = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + 40^2} = 20\sqrt{7}(海里)$.故选A.

6. [2024·西安中学期中]某工程队从A到D修建的一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为(A)


A.√{65 - 12√3} km
B.√{65 - 12√{13}} km
C.√{35 - 12√3} km
D.√{35 - 12√{13}} km

答案：
6.A 【解析】如图，连接$AC$，在$\triangle ABC$中，$AC = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$，$\cos \angle ACB = \frac{5^2 + (\sqrt{41})^2 - 4^2}{2 × 5 × \sqrt{41}} = \frac{5\sqrt{41}}{41}$，$\sin \angle ACB = \frac{4\sqrt{41}}{41}$，所以$\cos \angle ACD = \cos \left( \frac{2\pi}{3} - \angle ACB \right) = \cos \frac{2\pi}{3} \cos \angle ACB + \sin \frac{2\pi}{3} \sin \angle ACB = -\frac{1}{2} × \frac{5\sqrt{41}}{41} + \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{4\sqrt{41}}{41} = \frac{\sqrt{41}(4\sqrt{3} - 5)}{82}$.在$\triangle ACD$中，由余弦定理，得$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2 - 2AC · CD · \cos \angle ACD} = \sqrt{41 + 3^2 - 2 × \sqrt{41} × 3 × \frac{\sqrt{41}(4\sqrt{3} - 5)}{82}} = \sqrt{65 - 12\sqrt{3}}$.故$A$，$D$间的距离为$\sqrt{65 - 12\sqrt{3}} km$.

7. [2024·长治二中考]如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为50√2m.

答案： 7.$50\sqrt{2}$ 【解析】由题意知$\angle ABC = 30°$，由正弦定理$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}$得$AB = \frac{AC · \sin \angle ACB}{\sin \angle ABC} = \frac{50 × \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 50\sqrt{2}(m)$.

8. [2024·大连一中月考]如图，为了测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(C)


A.(15 + 3√3)m
B.(30 + 15√3)m
C.(30 + 30√3)m
D.(15 + 30√3)m

答案： 8.C 【解析】设树高为$h$，则$AB = \sqrt{3}h - h = 60$，所以$h = \frac{60}{\sqrt{3} - 1} = 30(\sqrt{3} + 1) = (30 + 30\sqrt{3})(m)$.故选C.

9. [2024·漯河高中月考]如图，在测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(D)

A.5√6 m
B.15√3 m
C.5√2 m
D.15√6 m

答案： 9.D 【解析】在$\triangle BCD$中，$\angle CBD = 180° - 15° - 30° = 135°$，由正弦定理得$\frac{BC}{\sin 30°} = \frac{CD}{\sin 135°}$，所以$BC = \frac{30 × \sin 30°}{\sin 135°} = 15\sqrt{2}(m)$，在$Rt \triangle ABC$中，$AB = BC \tan \angle ACB = 15\sqrt{2} × \sqrt{3} = 15\sqrt{6}(m)$.故选D.