《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

5. [2024·银川一中月考]如图所示，已知$\triangle ABC$的面积为 14，D，E 分别为边 AB，BC 上的点，$AD:DB = BE:EC = 2:1$，且 AE 与 CD 交于点 P，求$\triangle APC$的面积。

答案： 5.设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{b}$为一组基底，则$\overrightarrow{AE}=\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.因为点$A$，$P$，$E$共线且$D$，$P$，$C$共线，所以存在$\lambda$和$\mu$，使$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AE}=\lambda\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\lambda\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{DP}=\mu\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\mu\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}$.又$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}=(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\mu)\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}$，所以$\begin{cases}\lambda=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\mu\frac{2}{3}\lambda=\mu\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{6}{7}\\\mu=\frac{4}{7}\end{cases}$.连接$BP$，则$S_{\triangle PAB}=\frac{4}{7}S_{\triangle ABC}=14×\frac{4}{7}=8$，$S_{\triangle PBC}=14×(1-\frac{6}{7})=2$，所以$S_{\triangle APC}=14 - 8 - 2 = 4$.

6. [2024·青岛二中期中]如图，在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=-4$，$\angle BAC=\frac{2\pi}{3}$，$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{DB}$，P 为 CD 上一点，且满足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。
(1)求 m 的值；
(2)求$|\overrightarrow{AP}|$的最小值。

答案： 6.
(1)由题意得$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$.因为$C$，$P$，$D$三点共线，所以$m+\frac{2}{3}=1$，解得$m=\frac{1}{3}$.
(2)因为$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=-4$，所以$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos\frac{2\pi}{3}=-4$，所以$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=8$.由
(1)可知$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，所以$|\overrightarrow{AP}|^{2}=(\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})^{2}=\frac{1}{9}|\overrightarrow{AC}|^{2}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{AB}=\frac{1}{9}|\overrightarrow{AC}|^{2}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^{2}-\frac{4}{3}\geq2×\frac{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|}{6}-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$，当且仅当$|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{AB}|=\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，等号成立.故$|\overrightarrow{AP}|\geq\frac{2\sqrt{3}}{3}$.综上，$|\overrightarrow{AP}|$的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

7. [2024·杭州六校联考]平面内有一个$\triangle ABC$和一点 O（如图所示），线段 OA，OB，OC 的中点分别为 E，F，G，线段 BC，CA，AB 的中点分别为 L，M，N，设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$。
(1)试用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$表示向量$\overrightarrow{EL}$，$\overrightarrow{FM}$，$\overrightarrow{GN}$；
(2)求证：线段 EL，FM，GN 交于一点且互相平分。

答案： 7.
(1)因为$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OL}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，所以$\overrightarrow{EL}=\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$.同理可得$\overrightarrow{FM}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})$，$\overrightarrow{GN}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$.
(2)证明：设线段$EL$的中点为$P_1$，则$\overrightarrow{OP_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OL})=\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$.设$FM$，$GN$的中点分别为$P_2$，$P_3$，同理可求得$\overrightarrow{OP_2}=\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，$\overrightarrow{OP_3}=\frac{1}{4}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$.所以$\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}=\overrightarrow{OP_3}$，即$EL$，$FM$，$GN$交于一点且互相平分.

8. [2024·岳阳模拟]在$\triangle ABC$中，$AB = 4$，$AC = 2$，$\angle CAB=\frac{\pi}{3}$。
(1)如图 1，若 P 在 BC 上，且为靠近点 B 的四等分点，$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，求 xy；
(2)如图 2，$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，$·s$，$P_{2024}$分别为 BC 上的 2024 个点，且满足$BP_{1}=P_{1}P_{2}=P_{2}P_{3}=P_{3}P_{4}=·s=P_{2023}P_{2024}=P_{2024}C$，求$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP_{1}}+\overrightarrow{AP_{2}}+·s+\overrightarrow{AP_{2024}}+\overrightarrow{AC}|$的值。

答案： 8.
(1)$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，此时$x=\frac{3}{4}$，$y=\frac{1}{4}$，所以$xy=\frac{3}{16}$.
(2)由题意可知$\overrightarrow{AP_1}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2025}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2024}{2025}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2025}\overrightarrow{AC}$，同理可得，$\overrightarrow{AP_2}=\frac{2023}{2025}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{2025}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP_3}=\frac{2022}{2025}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2025}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP_{2024}}=\frac{1}{2025}\overrightarrow{AB}+\frac{2024}{2025}\overrightarrow{AC}$.所以$\overrightarrow{AP_1}+\overrightarrow{AP_2}+·s+\overrightarrow{AP_{2024}}=(\frac{2024}{2025}+\frac{2023}{2025}+·s+\frac{1}{2025})\overrightarrow{AB}+(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+·s+\frac{2024}{2025})\overrightarrow{AC}$.设$S=\frac{2024}{2025}+\frac{2023}{2025}+·s+\frac{1}{2025}$①，则$S=\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+·s+\frac{2024}{2025}$②，①+②得$2S=(\frac{2024}{2025}+\frac{2023}{2025}+·s+\frac{1}{2025})+(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+·s+\frac{2024}{2025})=2024$，所以$S=1012$，所以$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP_1}+\overrightarrow{AP_2}+·s+\overrightarrow{AP_{2024}}+\overrightarrow{AC}=1013(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.所以$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP_1}+\overrightarrow{AP_2}+·s+\overrightarrow{AP_{2024}}+\overrightarrow{AC}|=1013\sqrt{2^{2}+4^{2}+2×\frac{1}{2}×2×4}=2026\sqrt{7}$.