《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·铜仁一中月考]已知复数 $ z=(a^{2}-4)+(a - 3)i(a\in\mathbf{R}) $，则“$ a = 2 $”是“$ z $为纯虚数”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.A 【解析】因为复数$z=(a^{2}-4)+(a-3)i(a\in \mathbf{R})$为纯虚数$\Leftrightarrow \begin{cases}a^{2}-4=0,\\a-3\neq0,\end{cases}$所以$a=\pm2$，所以$“a=2”$是$“z$为纯虚数$”$的充分不必要条件.

2. [2024·烟台一中月考](多选)下列命题中不正确的有(ABCD)

A.若 $ x,y\in\mathbf{C} $，则 $ x + yi=1+i $的充要条件是 $ x = y = 1 $
B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C.若 $ z_{1},z_{2},z_{3}\in\mathbf{C} $，且 $ (z_{1}-z_{2})^{2}+(z_{2}-z_{3})^{2}=0 $，则 $ z_{1}=z_{2}=z_{3} $
D.若实数 $ a $与 $ ai $对应，则实数集与复数集一一对应

答案： 2.ABCD 【解析】因为$x,y\in \mathbf{C}$，所以$x+yi=1+i$的充要条件不是$x=y=1$，故A不正确；纯虚数集相对于复数集的补集是实数集和虚数集中的非纯虚数集，故B不正确；因为$z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbf{C}$，若$(z_{1}-z_{2})^{2}+(z_{2}-z_{3})^{2}=0$，则$z_{1}$，$z_{2},z_{3}$不一定相等，比如$z_{1}-z_{2}=1$，$z_{2}-z_{3}=i$，满足$(z_{1}-z_{2})^{2}+(z_{2}-z_{3})^{2}=0$，此时$z_{1},z_{2},z_{3}$不相等，故C不正确；因为规定实数$a$与复数$ai$对应，所以复数$a+bi(a\neq0)$没有实数与之对应，所以只有纯虚数和$0$有原象，因此不满足实数集与复数集一一对应，故D不正确.故选ABCD.

3. [2024·邢台二中期中]若复数 $ z = 3 - 4\sin^{2}\theta+(1 + 2\cos\theta)i $为纯虚数，$ \theta\in(0,\pi) $，则 $ \theta = $(B)

A.$ \frac{\pi}{6} $
B.$ \frac{\pi}{3} $
C.$ \frac{2\pi}{3} $
D.$ \frac{\pi}{3} $或 $ \frac{2\pi}{3} $

答案： 3.B 【解析】若复数$z=3-4\sin^{2}\theta+(1+2\cos\theta)i$为纯虚数，则$\begin{cases}3-4\sin^{2}\theta=0,\\1+2\cos\theta\neq0,\end{cases}$即$\begin{cases}\sin^{2}\theta=\frac{3}{4},\\\cos\theta\neq-\frac{1}{2},\end{cases}$结合$\theta\in(0,\pi)$，可知$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\theta\neq-\frac{1}{2}$，故$\theta=\frac{\pi}{3}$.

4. [2024·成都石室中学月考]已知 $ i $为虚数单位，则复数 $ z = 1+\cos\alpha+i\sin\alpha(\pi\lt\alpha\lt2\pi) $的模为(B)

A.$ 2\cos\frac{\alpha}{2} $
B.$ -2\cos\frac{\alpha}{2} $
C.$ 2\sin\frac{\alpha}{2} $
D.$ -2\sin\frac{\alpha}{2} $

答案： 4.B 【解析】由题意得$\vert z\vert=\sqrt{(1+\cos\alpha)^{2}+\sin^{2}\alpha}=\sqrt{2+2\cos\alpha}=\sqrt{4\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=2\vert\cos\frac{\alpha}{2}\vert$.因为$\pi＜\alpha＜2\pi$，所以$\frac{\pi}{2}＜\frac{\alpha}{2}＜\pi$，所以$\cos\frac{\alpha}{2}＜0$，所以$\vert z\vert=-2\cos\frac{\alpha}{2}$.

5. [2024·重庆巴蜀中学期中]设 $ A,B $为锐角三角形的两个内角，则复数 $ z = (\cos B-\tan A)+i\tan B $($ i $为虚数单位)对应的点位于复平面的(B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 5.B 【解析】因为$A$，$B$为锐角三角形的两个内角，所以$A+B＞\frac{\pi}{2}$，即$A＞\frac{\pi}{2}-B$，所以$\sin A＞\cos B$，所以$\cos B-\tan A=\cos B-\frac{\sin A}{\cos A}＜\cos B-\sin A＜0$.又$\tan B＞0$，所以点$(\cos B-\tan A,\tan B)$在第二象限.故选B.

6. 在复平面内，复数 $ z_{1},z_{2} $对应的点分别为 $ A $，$ B $.已知 $ i $为虚数单位，$ A(1,2) $，$ |AB| = 2\sqrt{5} $，$ |z_{2}|=\sqrt{41} $，则 $ z_{2}= $(D)

A.$ 4 + 5i $
B.$ 5 + 4i $
C.$ 3 + 4i $
D.$ 5 + 4i $或 $ \frac{1}{5}+\frac{32}{5}i $

答案： 6.D 【解析】设$z_{2}=x+yi(x,y\in \mathbf{R})$，则$B(x,y)$，由条件得$\begin{cases}(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(2\sqrt{5})^{2},\\x^{2}+y^{2}=(\sqrt{41})^{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=5,\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=-\frac{1}{5},\\y=\frac{32}{5}\end{cases}$所以$z_{2}=5+4i$或$\frac{1}{5}+\frac{32}{5}i$故选D.

7. 若复数 $ z = (-6 + k^{2})-(k^{2}-4)i(k\in\mathbf{R},i $为虚数单位)在复平面内所对应的点在第三象限，则 $ k $的取值范围是$(-\sqrt{6},-2)\cup(2,\sqrt{6})$.

答案： 7.$(-\sqrt{6},-2)\cup(2,\sqrt{6})$【解析】因为复数$z$所对应的点在第三象限，所以$\begin{cases}k^{2}-6＜0,\\4-k^{2}＜0,\end{cases}$所以$-\sqrt{6}＜k＜-2$或$2＜k＜\sqrt{6}$.故$k$的取值范围是$(-\sqrt{6},-2)\cup(2,\sqrt{6})$.

8. 定义运算 $ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc $，若 $ (x + y)+(x + 3)i=\begin{vmatrix}3x + 2y&i\\-y&1\end{vmatrix} $($ i $为虚数单位)，则实数 $ x,y $的值分别为 ______ .

答案： 8.$-1,2$【解析】由定义运算$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad - bc$，得$\begin{bmatrix}3x + 2y&i\\-y&1\end{bmatrix}=3x + 2y+yi$，故有$(x + y)+(x + 3)i=3x + 2y+yi$.因为$x,y$为实数，所以$\begin{cases}x + y=3x + 2y,\\x + 3=y,\end{cases}$即$\begin{cases}2x + y=0,\\x + 3=y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=2.\end{cases}$

9. [2024·昆明一中月考]已知 $ \log_{\frac{1}{2}}(m + n)-(m^{2}-3m)i\geqslant - 1 $，且 $ n\in\mathbf{N}^{*},m\in\mathbf{R} $，$ i $为虚数单位，则 $ m + n = $$1$或$2$.

答案： 9.$1$或$2$【解析】由题意得$\begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}(m + n)\geq-1,\\-(m^{2}-3m)=0,\end{cases}$
由②得$m = 0$或$m = 3$.当$m = 0$时，由$\log_{\frac{1}{2}}(m + n)\geq-1$，得$0＜n\leq2$，所以$n = 1$或$n = 2$.当$m = 3$时，由$\log_{\frac{1}{2}}(m + n)\geq-1$，得$0＜n + 3\leq2$，所以$-3＜n\leq-1$，此时$n$无正整数解.所以$m = 0$，$n = 1$或$m = 0$，$n = 2$.故$m + n$的值为$1$或$2$.

10. [2024·菏泽一中期中]已知复数 $ z_{1}=4 - m^{2}+(m - 2)i $，$ z_{2}=\lambda + 2\sin\theta+(\cos\theta - 2)i $（其中 $ i $是虚数单位，$ m,\lambda,\theta\in\mathbf{R} $）.
(1)若 $ z_{1} $为纯虚数，求 $ m $的值；
(2)若 $ z_{1}=z_{2} $，求 $ \lambda $的取值范围.

答案： 10.
(1)若$z_{1}$为纯虚数，则$\begin{cases}4 - m^{2}=0,\\m - 2\neq0,\end{cases}$解得$m = -2$.
(2)若$z_{1}=z_{2}$，则$\begin{cases}4 - m^{2}=\lambda+2\sin\theta,\\m - 2=\cos\theta - 2,\end{cases}$所以$\lambda=4-\cos^{2}\theta-2\sin\theta=\sin^{2}\theta-2\sin\theta + 3=(\sin\theta - 1)^{2}+2$.
因为$-1\leq\sin\theta\leq1$，所以当$\sin\theta = 1$时，$\lambda_{\min}=2$，当$\sin\theta=-1$时，$\lambda_{\max}=6$，所以实数$\lambda$的取值范围为$[2,6]$.