《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

18. [2024·扬州中学月考]（17 分）如图，在三棱锥 P - ABC 中，PC，AC，BC 两两垂直，BC = PC = 1，AC = 2，E，F，G 分别是 AB，AC，AP 的中点.
(1)求证：平面 GFE//平面 PCB；
(2)求二面角 B - AP - C 的正切值.

答案：
18.
(1)证明：因为$E$，$F$，$G$分别是$AB$，$AC$，$AP$的中点，所以$EF// BC$，$GF// CP$.
因为$EF\not\subset$平面$PCB$，$GF\not\subset$平面$PCB$，所以$EF//$平面$PCB$，$GF//$平面$PCB$.
又$EF\cap GF = F$，$EF$，$GF\subset$平面$GFE$，所以平面$GFE//$平面$PCB$.
(2)如图，过点$C$作$CH\perp PA$，垂足为$H$，连接$HB$.因为$BC\perp PC$，$BC\perp AC$，且$PC\cap AC = C$，$PC$，$AC\subset$平面$PAC$，所以$BC\perp$平面$PAC$.
又$PA\subset$平面$PAC$，所以$BC\perp PA$.
又$PA\perp CH$，$CH\cap BC = C$，$CH$，$BC\subset$平面$BCH$，所以$PA\perp$平面$BCH$.
又$HB\subset$平面$BCH$，所以$HB\perp PA$，所以$\angle BHC$是二面角$B - AP - C$的平面角.
依条件容易求出$CH=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以$\tan\angle BHC=\frac{BC}{CH}=\frac{1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以二面角$B - AP - C$的正切值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$.

19. [2024·江苏启东中学期中]（17 分）如图所示，在斜三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，底面是等腰三角形，AB = AC，D 是 BC 的中点，侧面 BB₁C₁C⊥底面 ABC.
(1)求证：AD⊥CC₁；
(2)过侧面 BB₁C₁C 的对角线 BC₁ 的平面交侧棱 AA₁ 于点 M，若 AM = MA₁，求证：截面 MBC₁⊥侧面 BB₁C₁C；
(3)若截面 MBC₁⊥侧面 BB₁C₁C，AM = MA₁ 成立吗？请说明理由.

答案：
19.
(1)证明：因为$AB = AC$，$D$是$BC$的中点，所以$AD\perp BC$.
因为底面$ABC\perp$侧面$BB_1C_1C$，底面$ABC\cap$侧面$BB_1C_1C = BC$，$AD\subset$平面$ABC$，所以$AD\perp$侧面$BB_1C_1C$.
又$CC_1\subset$侧面$BB_1C_1C$，所以$AD\perp CC_1$.
(2)证明：如图，延长$B_1A_1$，与$BM$的延长线交于点$N$，连接$C_1N$.
因为$AM = MA_1$，所以$NA_1 = A_1B_1$.
因为$A_1B_1 = A_1C_1$，所以$A_1C_1 = A_1N = A_1B_1$，所以$C_1N\perp B_1C_1$.因为平面$A_1B_1C_1\perp$平面$BB_1C_1C$，平面$A_1B_1C_1\cap$平面$BB_1C_1C = B_1C_1$，所以$C_1N\perp$侧面$BB_1C_1C$.又$C_1N\subset$截面$MBC_1$，所以截面$MBC_1\perp$侧面$BB_1C_1C$.
(3)成立.理由如下：
如图，过$M$作$ME\perp BC_1$于$E$，连接$DE$.
因为截面$MBC_1\perp$侧面$BB_1C_1C$，截面$MBC_1\cap$侧面$BB_1C_1C = BC_1$，所以$ME\perp$侧面$BB_1C_1C$.
又$AD\perp$侧面$BB_1C_1C$，所以$ME// AD$，所以$M$，$E$，$D$，$A$四点共面.
因为$MA//$侧面$BB_1C_1C$，所以$AM// DE$.
所以四边形$AMED$是平行四边形.
又$AM// CC_1$，所以$DE// CC_1$.
因为$D$是$BC$的中点，所以$DE=\frac{1}{2}CC_1$，所以$AM=\frac{1}{2}CC_1=\frac{1}{2}AA_1$.所以$AM = MA_1$.