《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

9. [2024·江苏启东中学月考]如图，$ P $ 是菱形 $ ABCD $ 所在平面外的一点，且 $ \angle DAB = 60^{\circ} $，侧面 $ PAD $ 为正三角形，且侧面 $ PAD \perp $ 底面 $ ABCD $，则 $ PB $ 与平面 $ ABCD $ 所成角为45°.

答案： 9.45°　[解析]取AD的中点G,连接PG,BG，因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD = AD,PG⊂平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,所以∠PBG是PB与平面ABCD所成的角.在△PBG中,PG⊥BG,BG = PG,所以∠PBG = 45°.

10. [2024·贵阳一中月考]如图，$ P $ 为四边形 $ ABCD $ 外一点，平面 $ PAD \perp $ 平面 $ ABCD $，$ PA = PD $，$ E $ 为 $ AD $ 的中点，则下列结论不一定成立的是(D)

A.$ PE \perp AC $
B.$ PE \perp BC $
C.平面 $ PBE \perp $ 平面 $ ABCD $
D.平面 $ PBE \perp $ 平面 $ PAD $

答案： 10.D　[解析]因为PA = PD,E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD = AD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥AC,PE⊥BC,所以A,B成立.又PE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD,所以C成立.若平面PBE⊥平面PAD,又因为平面PBE∩平面PAD = PE,AD⊥PE，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立.故选D.

11. [2024·广东顺德一中期中]如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ AD = AB $，$ \angle BCD = 45^{\circ} $，$ \angle BAD = 90^{\circ} $，将 $ \triangle ABD $ 沿 $ BD $ 折起，使平面 $ ABD \perp $ 平面 $ BCD $，构成三棱锥 $ A - BCD $. 则在三棱锥 $ A - BCD $ 中，下列命题正确的是(D)

A.平面 $ ABD \perp $ 平面 $ ABC $
B.平面 $ ADC \perp $ 平面 $ BDC $
C.平面 $ ABC \perp $ 平面 $ BDC $
D.平面 $ ADC \perp $ 平面 $ ABC $

答案： 11.D　[解析]在四边形ABCD中，AD//BC,AD = AB，∠BCD = 45°,∠BAD = 90°,所以BD⊥CD.又因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD = BD，所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.又AD⊥AB，CD ∩AD = D,所以AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.故选D.

1. [2024·武汉二中期末]如图，在三棱锥 $ P - ABC $ 中，已知平面 $ PBC \perp $ 平面 $ ABC $.
(1)若 $ AB \perp BC,CP \perp PB $，求证：$ CP \perp PA $；
(2)若过点 $ A $ 作直线 $ l \perp $ 平面 $ ABC $，求证：直线 $ l // $ 平面 $ PBC $.

答案：
1.证明:
(1)因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC = BC,AB⊂平面ABC,AB⊥BC,所以AB⊥平面PBC.
　因为CP⊂平面PBC,所以CP⊥AB.
　又CP⊥PB,且PB∩AB = B,PB,AB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB.
　又PA⊂平面PAB,所以CP⊥PA.
(2)如图，在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D.
　因为平面PBC⊥平面ABC,且平面PBC∩平面ABC = BC，PD⊂平面PBC,所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC,所以l//PD.又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以直线l//平面PBC.
　　　　　　　　　　　　　

2. 如图，正方形 $ ABCD $ 和梯形 $ BDEF $ 所在的平面互相垂直，$ EF // BD $，$ EF = \frac{1}{2}BD $，$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ O $，$ G,H $ 分别为线段 $ AB,BF $ 的中点.
(1)求证：$ AC \perp BF $；
(2)求证：$ GF // $ 平面 $ ADE $；
(3)若 $ DF \perp BF $，求证：平面 $ AHC \perp $ 平面 $ BGF $.

答案：
2.证明:
(1)因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.因为平面ABCD⊥平面BDEF，且平面ABCD∩平面BDEF = BD,所以AC⊥平面BDEF.又BF⊂平面BDEF，所以AC⊥BF.
(2)如图1,取AD的中点M,连接ME,GM.在△ABD中，G,M分别为AB，AD的中点，所以GM//BD，且GM = $\frac{1}{2}$BD.因为EF//BD,且EF = $\frac{1}{2}$BD,所以GM//EF，且GM = EF，所以四边形GMEF为平行四边形，所以GF//ME.又ME⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF//平面ADE.
　　
(3)如图2,连接OH.
　在△BDF中，O,H分别为BD,BF的中点，
所以OH//DF,
　因为DF⊥BF，所以OH⊥BF.
　因为BF⊥AC,AC∩OH = O,AC⊂平面AHC,OH⊂平面AHC,所以BF⊥平面AHC.
　又BF⊂平面BGF,所以平面AHC⊥平面BGF.