《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·吉安一中期末](多选)已知复数$z = m+\frac{10}{3 - 4i}$($m$为纯虚数),则 (ACD)

A.$z$不可能为纯虚数
B.若复数$z$为实数,则$m=\frac{8}{5}i$
C.$|z|$的最小值为$\frac{6}{5}$
D.若$z$在复平面内对应的点位于直线$y = x$上,则$m = -\frac{2}{5}i$

答案： 1.ACD[解析]设$m = bi(b\in R$且$b\neq 0)$，则$z = m+\frac{10}{3 - 4i}=bi+\frac{10}{3 - 4i}=bi+\frac{10(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)}=\frac{6}{5}+(\frac{8}{5}+b)i$，所以$z$不可能为纯虚数，故A正确；若复数$z$为实数，则$\frac{8}{5}+b = 0$，解得$b = -\frac{8}{5}$，所以$m = -\frac{8}{5}i$，故B错误；$\vert z\vert=\sqrt{(\frac{6}{5})^{2}+(\frac{8}{5}+b)^{2}}$，所以当$b = -\frac{8}{5}$时，$\vert z\vert$取得最小值，最小值为$\frac{6}{5}$，故C正确；若$z$在复平面内对应的点位于直线$y = x$上，则$\frac{8}{5}+b=\frac{6}{5}$，解得$b = -\frac{2}{5}$，所以$m = -\frac{2}{5}i$，故D正确.故选ACD
易错警示：利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准分别列出实部、虚部应满足的关系式，求解参数时，考虑问题要全面。

2. [2024·合肥一中月考](多选)下列关于复数的四个命题中,正确的有 (AC)

A.若复数$z\in R$,则$\overline{z}\in R$
B.若复数$z$满足$z^{2}\in R$,则$z\in R$
C.若复数$z$满足$\frac{1}{z}\in R$,则$z\in R$
D.若复数$z,z_{1}$满足$zz_{1}\in R$,则$z=\overline{z_{1}}$

答案： 2.AC[解析]设复数$z = a + bi(a,b\in R)$。A中，$\overline{z}=a - bi(a,b\in R)$。因为$z\in R$，所以$b = 0$，因此$\overline{z}=a\in R$，故A正确。B中，$z^{2}=(a + bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi$。因为$z^{2}\in R$，所以$ab = 0$，若$a = 0$，$b\neq 0$，则$z\notin R$，故B错误。C中，$\frac{1}{z}=\frac{1}{a + bi}=\frac{a - bi}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}i$。因为$\frac{1}{z}\in R$，所以$\frac{b}{a^{2}+b^{2}} = 0$，即$b = 0$，所以$z = a\in R$，故C正确。D中，设$z_{1}=c + di(c,d\in R)$，则$z\overline{z}_{1}=(a + bi)(c + di)=(ac - bd)+(ad + bc)i$。因为$z\overline{z}_{1}\in R$，所以$ad + bc = 0$。若$\begin{cases}a = 1\\b = 1\\c = 2\\d = -2\end{cases}$，能满足$ad + bc = 0$，但$z\neq\overline{z}_{1}$，故D错误。故选AC。

3. [2024·长沙一中月考]若$M=\{z||z + 1| = 1\}$,$N=\{z||z + i| = |z - i|\}$,则$M\cap N=$$\{0,-2\}$.

答案： 3.$\{0,-2\}$[解析]在复平面内，$\vert z + 1\vert = 1$的几何意义是以点$(-1,0)$为圆心，$1$为半径的圆。$\vert z + i\vert=\vert z - i\vert$的几何意义是到点$A(0,1)$和点$B(0,-1)$距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是$x$轴。$M\cap N$表示的是$x$轴与圆的公共点对应的复数。故$z = 0$或$z = -2$，所以$M\cap N=\{0,-2\}$。
易错警示：本题若混淆复数运算与代数运算，则会错误地将集合M和N化简为$M = \{z\mid z + 1=\pm 1\}$，$N = \{z\mid z + i=\pm(z - i)\}$，从而造成解题错误。

4. [2024·烟台二中月考]已知复数$z$满足条件$z^{2}-|z|-6 = 0$,则复数$z=$$3$或$-3$.

答案： 4.$3$或$-3$[解析]设$z = x + yi(x,y\in R)$，则由条件得$x^{2}-y^{2}+2xyi-\sqrt{x^{2}+y^{2}} - 6 = 0$。由复数相等的充要条件得$\begin{cases}x^{2}-y^{2}-\sqrt{x^{2}+y^{2}} - 6 = 0\\2xy = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x^{2}-\sqrt{x^{2}} - 6 = 0\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}y^{2}+\sqrt{y^{2}} + 6 = 0\\x = 0\end{cases}$（无解），即$\begin{cases}(\sqrt{x^{2}} - 3)(\sqrt{x^{2}} + 2) = 0\\y = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\pm 3\\y = 0\end{cases}$。即复数$z = 3$或$-3$。
易错警示：求解本题易将复数$z$的模等同于实数的绝对值，误认为$\vert z\vert^{2}=z^{2}$，得到如下错解：由$z^{2}-\vert z\vert - 6 = 0\Rightarrow(\vert z\vert - 3)(\vert z\vert + 2)=0$。因为$\vert z\vert+2\neq 0$，所以$\vert z\vert = 3$。则在复平面内以原点为圆心，$3$为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求。事实上，设复数$z = a + bi(a,b\in R)$，则$z^{2}=(a + bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi$，$\vert z\vert^{2}=a^{2}+b^{2}$，即$z^{2}\neq\vert z\vert^{2}$，二者不可混淆。

5. [2024·重庆育才中学月考]满足$z+\frac{5}{z}$是实数,且$z + 3$的实部与虚部是相反数的虚数$z$是否存在?若存在,求出虚数$z$;若不存在,请说明理由.

答案： 5.存在。理由如下：
设虚数$z = x + yi(x,y\in R$，且$y\neq 0)$，则$z + 3 = x + 3 + yi$，$z+\frac{5}{z}=x + yi+\frac{5}{x + yi}=x+\frac{5x}{x^{2}+y^{2}}+(y-\frac{5y}{x^{2}+y^{2}})i$。由题意得$\begin{cases}y-\frac{5y}{x^{2}+y^{2}} = 0\\x+\frac{5x}{x^{2}+y^{2}}=-y\end{cases}$，所以$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=5\\x + y=-3\\y\neq 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}$，所以存在虚数$z = -1 - 2i$或$z = -2 - i$满足题意。
易错警示：在复数的运算中，注意与实数运算的区别。如在进行除法运算时，注意在分母实数化过程中，$(a + bi)(a - bi)=a^{2}+b^{2}(a,b\in R)$。

6. [2024·嘉兴检测]已知关于$x$的方程$x^{2}+(k + 2i)x + 2 + ki = 0$有实数根,则实数$k$的值为$\pm 2\sqrt{2}$.

答案： 6.$\pm 2\sqrt{2}$[解析]设$x_{0}$是方程的实数根，代入方程并整理得$(x_{0}^{2}+kx_{0}+2)+(2x_{0}+k)i = 0$。由复数相等的充要条件得$\begin{cases}x_{0}^{2}+kx_{0}+2 = 0\\2x_{0}+k = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{0}=\sqrt{2}\\k=-2\sqrt{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x_{0}=-\sqrt{2}\\k=2\sqrt{2}\end{cases}$，所以$k$的值为$\pm 2\sqrt{2}$。
易错警示：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以$\Delta=(k + 2i)^{2}-4(2 + ki)\geqslant 0$，解得$k\geqslant 2\sqrt{3}$或$k\leqslant -2\sqrt{3}$。需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根。

7. [2024·西安中学月考]已知方程$x^{2}+kx - i = 0$有一个根是$i$,求另一个根及$k$的值.

答案： 7.将$x = i$代入原方程得$i^{2}+ki - i = 0$，由此可得$k = 1 - i$，设$x_{0}$是方程的另一个根，则由根与系数的关系可得$x_{0}i=-i$，从而得$x_{0}=-1$。

8. 在复平面内,已知复数$z$对应的向量为$\overrightarrow{OZ}$($O$为坐标原点),$\overrightarrow{OZ}$与实轴正方向的夹角为$120^{\circ}$,且复数$z$的模为$2$,则复数$z$为 (D)

A.$1+\sqrt{3}i$
B.$-1+\sqrt{3}i$
C.$-1-\sqrt{3}i$
D.$-1\pm\sqrt{3}i$

答案：
8.D[解析]设复数$z$在复平面内对应的点的坐标为$Z(a,b)$。根据题意可画出图形，如图所示。

因为$\vert z\vert = 2$，且$\overrightarrow{OZ}$与$x$轴正方向的夹角为$120^{\circ}$，所以$a=-1$，$b=\pm\sqrt{3}$，即点$Z$的坐标为$(-1,\sqrt{3})$或$(-1,-\sqrt{3})$。所以$z=-1+\sqrt{3}i$或$z=-1-\sqrt{3}i$。
易错警示：利用复数与向量的对应关系解题时，注意向量的位置、夹角等的思考与讨论。

9. [2024·鞍山一中月考]设$x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}+3ax + a^{2}-a = 0(a\in R)$在复数范围内的两根,求$|x_{1}|+|x_{2}|$(用含$a$的解析式表示).

答案： 9.因为$x_{1}$，$x_{2}$是方程$2x^{2}+3ax+a^{2}-a=0(a\in R)$的两根，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{3a}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{a^{2}-a}{2}$。若$\Delta=9a^{2}-8a^{2}+8a\geqslant 0$，即$a\geqslant 0$或$a\leqslant -8$，此时$x_{1}$，$x_{2}\in R$，$\vert x_{1}\vert+\vert x_{2}\vert=\sqrt{(\vert x_{1}\vert+\vert x_{2}\vert)^{2}}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\vert x_{1}x_{2}\vert}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+2\vert x_{1}x_{2}\vert}=\sqrt{\frac{9}{4}a^{2}-(a^{2}-a)+\vert a^{2}-a\vert}$。由$a^{2}-a\geqslant 0$得$a\geqslant 1$或$a\leqslant 0$，所以当$a\geqslant 1$或$a\leqslant -8$时，$\vert x_{1}\vert+\vert x_{2}\vert=\sqrt{\frac{9}{4}a^{2}-(a^{2}-a)+(a^{2}-a)}=\vert\frac{3a}{2}\vert$；当$0\leqslant a＜1$时，$\vert x_{1}\vert+\vert x_{2}\vert=\sqrt{\frac{9}{4}a^{2}-(a^{2}-a)-(a^{2}-a)}=\sqrt{\frac{1}{4}a^{2}+2a}$。若$\Delta=9a^{2}-8a^{2}+8a＜0$，即$-8＜a＜0$，此时，$x_{1}$，$x_{2}$为一对共轭虚根。$\vert x_{1}\vert+\vert x_{2}\vert=2\vert x_{1}\vert=2\sqrt{\vert x_{1}\vert^{2}}=2\sqrt{x_{1}x_{2}}=2\sqrt{\frac{a^{2}-a}{2}}=\sqrt{2(a^{2}-a)}$。
综上所述，$\vert x_{1}\vert+\vert x_{2}\vert=\begin{cases}\vert\frac{3a}{2}\vert,a\geqslant 1或a\leqslant -8\\\sqrt{\frac{1}{4}a^{2}+2a},0\leqslant a＜1\\\sqrt{2(a^{2}-a)},-8＜a＜0\end{cases}$
易错警示：复数范围内解一元二次方程时，要根据判别式$\Delta\geqslant 0$，$\Delta＜0$分类讨论，进而求解相应问题。