《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·邵阳一中月考](多选)已知 i 为虚数单位，下列命题中正确的有(CD)

A.虚数的平方不小于 0
B.-1 的平方根只有一个，即为 i
C.i 是方程 $ x^{4}-1 = 0 $ 的一个根
D.$ \sqrt{2}i $ 的虚部是 $ \sqrt{2} $

答案： 1.CD 【解析】由$i^2 = -1＜0$知A错误；由$-i$也是$-1$的一个平方根知B错误；由$i^4 - 1 = 0$知C正确；D显然正确.故选CD.

2. [2024·宜昌一中月考]已知复数 $ z = \cos\alpha + i\cos2\alpha(0 ＜ \alpha ＜ 2\pi $，i 为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则 α 的取值集合为(D)

A.$ \left\{ \pi,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3} \right\} $
B.$ \left\{ \frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3} \right\} $
C.$ \left\{ \pi,\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6} \right\} $
D.$ \left\{ \frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3} \right\} $

答案： 2.D 【解析】依题意有$\cos \alpha + \cos 2\alpha = 0$，即$2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 = 0$，所以$\cos \alpha = -1$或$\cos \alpha = \frac{1}{2}$.因为$0 ＜ \alpha ＜ 2\pi$，所以$\alpha = \pi$或$\alpha = \frac{\pi}{3}$或$\alpha = \frac{5\pi}{3}$.故选D.

3. [2024·合肥一六八中学期中]欧拉公式 $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $ (e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，$ \theta \in R $)是瑞士著名数学家欧拉提出的，$ e^{i\pi} + 1 = 0 $ 是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数 $ e^{\frac{\pi}{3}i} $ 的虚部为(B)

A.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ -\frac{\sqrt{3}}{2}i $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2}i $

答案： 3.B 【解析】由欧拉公式得$e^{\frac{\pi}{3}i} = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，其虚部为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.故选B.

4. [2024·菏泽一中月考]若全集 $ C = \{ 复数 \} $，$ Q = \{ 有理数 \} $，$ I = \{ 虚数 \} $，则 $ (\complement_{C}Q)\cup(\complement_{C}I) $ 是(A)

A.C
B.无理数集
C.Q
D.R

答案： 4.A 【解析】在全集C中，有理数集Q的补集是虚数集I和无理数集的并集；虚数集I的补集是实数集，所以$(\complement_{C}Q) \cup (\complement_{C}I)$是全集C.

5. (多选)下列说法错误的有(ACD)

A.复数 $ a + bi $ 不是纯虚数
B.若 $ x = 1 $，则复数 $ z = (x^{2}-1)+(x + 1)i $ 是纯虚数
C.若 $ (x^{2}-4)+(x^{2}+3x + 2)i $ 是纯虚数，则实数 $ x = \pm 2 $
D.若复数 $ z = a + bi $，则当且仅当 $ b \neq 0 $ 时，z 为虚数

答案： 5.ACD 【解析】对于A，当$a = 0$，$b \neq 0$，$b \in \mathbf{R}$时，复数$a + bi$是纯虚数，故A错误；对于B，当$x = 1$时，复数$z = 2i$是纯虚数，故B正确；对于C，$(x^2 - 4) + (x^2 + 3x + 2)i$是纯虚数，则$\begin{cases}x^2 - 4 = 0, \\x^2 + 3x + 2 \neq 0,\end{cases}$即$x = 2$，故C错误；对于D，复数$z = a + bi$，$a$，$b$未注明为实数，故D错误.故选ACD.

6. [2024·麻城一中周练]已知 i 为虚数单位，当实数 m 为何值时，复数 $ z = \frac{m^{2}+m - 6}{m} + (m^{2}-2m)i $ 是下列数？
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数.

答案： 6.
(1)当$\begin{cases}m^2 - 2m = 0, \\m \neq 0,\end{cases}$即$m = 2$时，复数$z$是实数.
(2)当$\begin{cases}m^2 - 2m \neq 0, \\m \neq 0,\end{cases}$即$m \neq 0$且$m \neq 2$时，复数$z$是虚数.
(3)当$\begin{cases}m \neq 0, \frac{m^2 + m - 6}{m} = 0, \\m^2 - 2m \neq 0,\end{cases}$即$m = -3$时，复数$z$是纯虚数.

7. [2024·玉林高中月考]在下列命题中，正确命题的个数是(A)
①两个复数不能比较大小；
②若 $ z_{1} $ 和 $ z_{2} $ 都是虚数，且它们的虚部相等，则 $ z_{1} = z_{2} $；
③若 a，b 是两个相等的实数，则 $ (a - b)+(a + b)i $ 必为纯虚数.

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 7.A 【解析】对于①，当两个复数都是实数时，是可以比较大小的，故①错误.对于②，设$z_1 = a + bi(a, b \in \mathbf{R}$，且$b \neq 0)$，$z_2 = c + di(c, d \in \mathbf{R}$，且$d \neq 0)$，因为$b = d$，所以$z_2 = c + bi$.当$a = c$时，$z_1 = z_2$；当$a \neq c$时，$z_1 \neq z_2$，故②错误.对于③，当$a = b \neq 0$时，$(a - b) + (a + b)i$是纯虚数；当$a = b = 0$时，$(a - b) + (a + b)i = 0$是实数，故③错误.故选A.

8. 已知 i 为虚数单位，集合 $ M = \{ 1,m^{2}-3m - 1 + (m^{2}-5m - 6)i \} $，$ N = \{ 1,3 \} $，$ M\cap N = \{ 1,3 \} $，则实数 m 的值为-1.

答案： 8.-1 【解析】由题意得$\begin{cases}m^2 - 3m - 1 = 3, \\m^2 - 5m - 6 = 0,\end{cases}$