《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

15. [2024·许昌高中期中]（13 分）设 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 是不共线的两个非零向量.
（1）若 $\overrightarrow{OA}=2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OB}=3\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$，求证：$A$，$B$，$C$ 三点共线；
（2）若 $8\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}$ 与 $k\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$ 共线，求实数 $k$ 的值；
（3）若 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC}=2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD}=2\boldsymbol{a}-k\boldsymbol{b}$，且 $A$，$C$，$D$ 三点共线，求实数 $k$ 的值.

答案： 15.
(1)证明：$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=a + 2b$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-a - 2b$，所以$\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$。
又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线。
(2)设$8a + kb=\lambda(ka + 2b)$，$\lambda\in R$，则$\begin{cases}8 = k\lambda\\k = 2\lambda\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 4\\\lambda = 2\end{cases}$或$\begin{cases}k = -4\\\lambda = -2\end{cases}$
所以实数k的值为$\pm4$。
(3)$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(a + b)+(2a - 3b)=3a - 2b$。因为A，C，D三点共线，所以$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{CD}$共线。
从而存在实数$\mu$使$\overrightarrow{AC}=\mu\overrightarrow{CD}$，即$3a - 2b=\mu(2a - kb)$，
得$\begin{cases}3 = 2\mu\\-2 = -\mu k\end{cases}$
解得$\begin{cases}\mu=\frac{3}{2}\\k=\frac{4}{3}\end{cases}$
所以$k=\frac{4}{3}$。

16. [2024·南京金陵中学期中]（15 分）在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，向量 $\boldsymbol{m}=(\cos C,2b-\sqrt{2}c)$，$\boldsymbol{n}=(\cos A,\sqrt{2}a)$，$\boldsymbol{m}//\boldsymbol{n}$.
（1）求 $A$；
（2）若 $\triangle ABC$ 的面积为 8，且 $b^{2}+2a^{2}=4c^{2}$，求 $c$ 的值.

答案： 16.
(1)因为向量$m = (\cos C,2b - \sqrt{2}c)$，$n = (\cos A,\sqrt{2}a)$，$m// n$，所以$\sqrt{2}a\cos C=(2b - \sqrt{2}c)\cos A$。
由正弦定理得$\sin A\cos C=\sqrt{2}\sin B\cos A-\cos A\sin C$，得$\sin(A + C)=\sqrt{2}\sin B\cos A$，即$\sin B=\sqrt{2}\sin B\cos A$。因为$B\in(0,\pi)$，则$\sin B＞0$，所以$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
又$A\in(0,\pi)$，所以$A=\frac{\pi}{4}$。
(2)由
(1)及余弦定理得$\sqrt{2}bc=b^2+c^2-a^2$，又$b^2+2a^2=4c^2$，所以$3b^2-2c^2-2\sqrt{2}bc=0$，即$(3b+\sqrt{2}c)(b-\sqrt{2}c)=0$。
因为$b＞0,c＞0$，所以$b=\sqrt{2}c$。
又$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{\sqrt{2}}{4}bc=8$，
所以$c^2=16$，所以$c = 4$。

17. [2024·六安一中期中]（15 分）在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{CB}=0$.
（1）证明：$a^{2}+2b^{2}=3c^{2}$；
（2）求 $\cos C$ 的取值范围.

答案： 17.
(1)证明：由$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{CB}=0$，可得$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB}$，即$cb\cos A+2ca\cos B=3ba\cos C$，即$cb·\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+2ca·\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=3ba·\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，整理可得$a^2+2b^2=3c^2$。
(2)由
(1)知$a^2+2b^2=3c^2$，即$c^2=\frac{1}{3}a^2+\frac{2}{3}b^2$，所以$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2-\frac{1}{3}a^2-\frac{2}{3}b^2}{2ab}=\frac{\frac{2}{3}a^2+\frac{1}{3}b^2}{2ab}\geq\frac{2\sqrt{2}ab}{6ab}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，当且仅当$\frac{2}{3}a^2=\frac{1}{3}b^2$，即$b=\sqrt{2}a$时，等号成立。因为$\cos C＜1$，所以$\cos C\in[\frac{\sqrt{2}}{3},1)$，即$\cos C$的取值范围为$[\frac{\sqrt{2}}{3},1)$。