《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:

据表中数据,下列结论中正确的是(C)

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

答案： 1.C 【解析】因为 6+12+18=36＜50，36+30=66＞50，所以 100 块稻田亩产量的中位数不小于 1050 kg，所以 A 错误；因为 100 块稻田中亩产量低于 1100 kg 的稻田有 66 块，所占比例为 66%＜80%，所以 B 错误；100 块稻田亩产量的极差的最大值小于 1200-900=300，最小值大于 1150-950=200，所以极差介于 200 kg 至 300 kg 之间，所以 C 正确；同一组中的数据都用左端点值来估计，则这 100 块稻田亩产量的平均值的最小值为$\frac{1}{100} × (6 × 900+12 × 950+18 × 1000+30 × 1050+24 × 1100+10 × 1150)=1042＞1000$，所以平均值不介于 900 kg 至 1000 kg 之间，所以 D 错误. 故选 C.

2. [2022·全国卷甲卷]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图,则(B)


A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

答案： 2.B 【解析】对于 A，讲座前问卷答题的正确率的中位数是$\frac{70\% + 75\%}{2}=72.5\%$，所以 A 错误；对于 B，讲座后问卷答题的正确率分别是 80%，85%，85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%，100%，其平均数显然大于 85%，所以 B 正确；对于 C，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率波动较大，讲座后问卷答题的正确率波动较小，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，所以 C 错误；对于 D，讲座前问卷答题的正确率的极差是 95%-60%=35%，讲座后问卷答题的正确率的极差是 100%-80%=20%，所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差，所以 D 错误. 故选 B.

3. [全国卷甲卷]为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图.

根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(C)

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

答案： 3.C 【解析】对于 A，该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 0.02+0.04=0.06，即 6%，故 A 正确；对于 B，该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 0.04+0.02×3=0.10，即 10%，故 B 正确；对于 C，估计该地农户家庭年收入的平均值为 3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68＞6.5，故 C 不正确；对于 D，估计该地农户家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的频率为 0.10+0.14+0.20+0.20=0.64＞0.5，故 D 正确.

4. [2023·新课标Ⅰ卷](多选)有一组样本数据$x_{1},x_{2},·s,x_{6}$,其中$x_{1}$是最小值,$x_{6}$是最大值,则(BD)

A.$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数等于$x_{1},x_{2},·s,x_{6}$的平均数
B.$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的中位数等于$x_{1},x_{2},·s,x_{6}$的中位数
C.$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的标准差不小于$x_{1},x_{2},·s,x_{6}$的标准差
D.$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的极差不大于$x_{1},x_{2},·s,x_{6}$的极差

答案： 4.BD 【解析】取$x_1=1,x_2=x_3=x_4=x_5=2,x_6=9$，则$x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数等于 2，标准差为 0，$x_1,x_2,·s,x_6$的平均数等于 3，标准差为$\sqrt{\frac{22}{3}}=\frac{\sqrt{66}}{3}$，故 A,C 均不正确；根据中位数的定义，知$x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数是将$x_2,x_3,x_4,x_5$按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，$x_1,x_2,·s,x_6$的中位数是将$x_1,x_2,·s,x_6$按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，由于$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，故$x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数与$x_1,x_2,·s,x_6$的中位数相等，故 B 正确；根据极差的定义，知$x_2,x_3,x_4,x_5$的极差不大于$x_1,x_2,·s,x_6$的极差，故 D 正确. 故选 BD.