《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·南宁二中月考]已知向量$\overrightarrow{AB}=(1,-3)$，$\overrightarrow{BC}=(-1,-2)$，$\overrightarrow{AD}=(2,4)$，则$\overrightarrow{CD}=$(D)

A.$(4,-1)$
B.$(0,9)$
C.$(2,-1)$
D.$(2,9)$

答案： 1.D 【解析】$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} = (1, -3) + (-1, -2) = (0, -5)$，因为$\overrightarrow{AD} = (2, 4)$，所以$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = (2, 4) - (0, -5) = (2, 9)$。故选D.

2. [2024·中山纪念中学单元检测]若向量$\boldsymbol{a}=(2x - 1,x^{2} + 3x - 3)$与$\overrightarrow{AB}$相等，且$A(1,3)$，$B(2,4)$，则$x$的值为(A)

A.$1$
B.$1$或$4$
C.$0$
D.$-4$

答案： 2.A 【解析】由已知得$\overrightarrow{AB} = (2 - 1, 4 - 3) = (1, 1)$，因为$a = (2x - 1, x^2 + 3x - 3)$与$\overrightarrow{AB}$相等，所以$\begin{cases}2x - 1 = 1, \\x^2 + 3x - 3 = 1,\end{cases}$解得$x = 1$。故选A.

3. [2024·烟台一中月考]已知四边形$ABCD$为平行四边形，其中$A(5,-1)$，$B(-1,7)$，$C(1,2)$，则顶点$D$的坐标为(D)

A.$(-7,6)$
B.$(7,6)$
C.$(6,7)$
D.$(7,-6)$

答案： 3.D 【解析】设$D(x, y)$，由$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$，得$(x - 5, y + 1) = (2, -5)$，所以$x = 7, y = -6$，所以$D(7, -6)$。

4. [2024·武汉二中周练]已知$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}=(2,-8)$，$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}=(-8,16)$，则$\boldsymbol{a}=$(-3, 4)，$\boldsymbol{b}=$(5, -12)。

答案： 4.$(-3, 4) \ (5, -12)$ 【解析】设$a = (m, n)$，$b = (x, y)$，则$a + b = (m + x, n + y)$，$a - b = (m - x, n - y)$。因为$a + b = (2, -8)$，$a - b = (-8, 16)$，所以$\begin{cases}m + x = 2, \\n + y = -8, \\m - x = -8, \\n - y = 16,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -3, \\n = 4, \\x = 5, \\y = -12,\end{cases}$所以$a = (-3, 4)$，$b = (5, -12)$。

5. [2024·成都七中月考]在平行四边形$ABCD$中，$AC$为一条对角线，$\overrightarrow{AB}=(2,4)$，$\overrightarrow{AC}=(1,3)$，则$\overrightarrow{BD}$的坐标为(-3, -5)。

答案： 5.$(-3, -5)$ 【解析】由题意可得$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (1, 3) - (2, 4) = (-1, -1)$，所以$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = (-1, -1) - (2, 4) = (-3, -5)$。

6. [2024·银川一中月考]已知$\boldsymbol{a}=(-3,1)$，$\boldsymbol{b}=(-1,2)$，则$3\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}=$(B)

A.$(7,1)$
B.$(-7,-1)$
C.$(-7,1)$
D.$(7,-1)$

答案： 6.B 【解析】$3a - 2b = 3(-3, 1) - 2(-1, 2) = (-9 + 2, 3 - 4) = (-7, -1)$。故选B.

7. [2024·呼和浩特一中月考]已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(2,3)$，$\boldsymbol{c}=(3,4)$，则用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$表示$\boldsymbol{c}$为(C)

A.$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$
B.$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$

答案： 7.C 【解析】设$c = \lambda a + \mu b (\lambda, \mu \in \mathbb{R})$，则$(3, 4) = \lambda(1, 2) + \mu(2, 3) = (\lambda + 2\mu, 2\lambda + 3\mu)$，所以$\begin{cases}\lambda + 2\mu = 3, \\2\lambda + 3\mu = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda = -1, \\\mu = 2,\end{cases}$所以$c = -a + 2b$。

8. (多选)已知向量$\boldsymbol{e}_{1}=(-1,2)$，$\boldsymbol{e}_{2}=(2,1)$，若向量$\boldsymbol{a}=\lambda_{1}\boldsymbol{e}_{1} + \lambda_{2}\boldsymbol{e}_{2}$，则使$\lambda_{1}\lambda_{2} \lt 0$成立的$\boldsymbol{a}$可能是(AC)

A.$(1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(-1,0)$
D.$(0,-1)$

答案： 8.AC 【解析】设$a = (x, y)$。因为$a = \lambda_1 \mathbf{e}_1 + \lambda_2 \mathbf{e}_2$，所以$(x, y) = \lambda_1(-1, 2) + \lambda_2(2, 1)$，所以$\begin{cases}x = -\lambda_1 + 2\lambda_2, \\y = 2\lambda_1 + \lambda_2,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda_1 = \frac{2y - x}{5}, \\\lambda_2 = \frac{2x + y}{5}.\end{cases}$对于A，$\lambda_1 = -\frac{1}{5}$，$\lambda_2 = \frac{2}{5}$，$\lambda_1 \lambda_2 ＜ 0$，故A符合；对于B，$\lambda_1 = \frac{2}{5}$，$\lambda_2 = \frac{1}{5}$，$\lambda_1 \lambda_2 ＞ 0$，故B不符合；对于C，$\lambda_1 = \frac{1}{5}$，$\lambda_2 = -\frac{2}{5}$，$\lambda_1 \lambda_2 ＜ 0$，故C符合；对于D，$\lambda_1 = -\frac{2}{5}$，$\lambda_2 = -\frac{1}{5}$，$\lambda_1 \lambda_2 ＞ 0$，故D不符合。故选AC.

9. [2024·厦门二中月考]已知$\boldsymbol{a}=(5,-2)$，$\boldsymbol{b}=(-4,-3)$，$\boldsymbol{c}=(x,y)$，若$\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} + 3\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，则$\boldsymbol{c}=$(-$\frac{13}{3}$, -$\frac{4}{3}$)。

答案： 9.$(-\frac{13}{3}, -\frac{4}{3})$ 【解析】$a - 2b + 3c = (5, -2) - 2(-4, -3) + 3(x, y) = (5 - 2 × (-4) + 3x, -2 - 2 × (-3) + 3y) = (13 + 3x, 4 + 3y) = 0$，所以$\begin{cases}13 + 3x = 0, \\4 + 3y = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -\frac{13}{3}, \\y = -\frac{4}{3},\end{cases}$故$c = (-\frac{13}{3}, -\frac{4}{3})$。

10. 已知$A(-2,4)$，$C(-3,-4)$，且$\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{CA}$，则点$M$的坐标为(0, 20)。

答案： 10.$(0, 20)$ 【解析】因为$\overrightarrow{CA} = (-2 + 3, 4 + 4) = (1, 8)$，所以$\overrightarrow{CM} = 3\overrightarrow{CA} = (3, 24)$。设$M(x, y)$，则$\overrightarrow{CM} = (x + 3, y + 4) = (3, 24)$，所以$x = 0, y = 20$，故$M(0, 20)$。

11. [2024·海口一中期中]在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$边的中点，已知$A(1,1)$，$\overrightarrow{AB}=(-1,-3)$，$\overrightarrow{CD}=(3,5)$，则点$C$的坐标为(-6, -12)。

答案： 11.$(-6, -12)$ 【解析】设$O$为坐标原点。因为$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CD} = (-1, -3) - (6, 10) = (-7, -13)$，所以$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (-7, -13)$，所以$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + (-7, -13) = (1, 1) + (-7, -13) = (-6, -12)$，即点$C$的坐标为$(-6, -12)$。

12. [2024·冀州中学月考]已知向量$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$\boldsymbol{b}=(x,-2)$，若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}=$(A)

A.$(-2,-1)$
B.$(2,1)$
C.$(3,-1)$
D.$(-3,1)$

答案： 12.A 【解析】因为$a // b$，所以$x = -4$，所以$a + b = (2, 1) + (-4, -2) = (-2, -1)$。故选A.

13. [2024·荆州中学单元检测]若$\boldsymbol{a}=(2\cos\alpha,1)$，$\boldsymbol{b}=(\sin\alpha,1)$，且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$\tan\alpha=$(A)

A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 13.A 【解析】因为$a // b$，所以$2\cos \alpha × 1 = 1 × \sin \alpha$，所以$\tan \alpha = 2$。故选A.

14. [2024·成都石室中学月考]已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(0,1)$，设$\boldsymbol{u}=\boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{v}=2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$，若$\boldsymbol{u}//\boldsymbol{v}$，则实数$k$的值为(B)

A.$-1$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$

答案： 14.B 【解析】因为$u = (1, 2) + k(0, 1) = (1, 2 + k)$，$v = (2, 4) - (0, 1) = (2, 3)$，且$u // v$，所以$1 × 3 = (2 + k) × 2$，解得$k = -\frac{1}{2}$。故选B.

15. [2024·重庆巴蜀中学期中](多选)已知向量$\overrightarrow{OA}=(1,-3)$，$\overrightarrow{OB}=(2,-1)$，$\overrightarrow{OC}=(m + 1,m - 2)$，若点$A$，$B$，$C$能构成三角形，则实数$m$可以是(ABD)

A.$-2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$1$
D.$-1$

答案： 15.ABD 【解析】因为$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (2, -1) - (1, -3) = (1, 2)$，$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (m + 1, m - 2) - (1, -3) = (m, m + 1)$。假设$A, B, C$三点共线，则$1 × (m + 1) - 2m = 0$，即$m = 1$，所以只要$m \neq 1$，$A, B, C$三点就可构成三角形。故选ABD.