《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

16. [2024·大同一中月考]已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(1,0)$，$\boldsymbol{c}=(3,4)$。若$\lambda$为实数，$(\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b})//\boldsymbol{c}$，则$\lambda=$。

答案： 16.$\frac{1}{2}$ 【解析】由题意可得$a + \lambda b = (1 + \lambda, 2)$。由$(a + \lambda b) // c$，得$(1 + \lambda) × 4 - 2 × 3 = 0$，解得$\lambda = \frac{1}{2}$。

17. [2024·唐山二中月考]已知$A$，$B$，$C$三点共线，$\overrightarrow{BA}=-\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$，点$A$，$B$的纵坐标分别为$2$，$5$，则点$C$的纵坐标为10。

答案： 17.10 【解析】设点$C$的纵坐标为$y$。因为$A, B, C$三点共线，$\overrightarrow{BA} = -\frac{3}{8} \overrightarrow{AC}$，点$A, B$的纵坐标分别为$2, 5$，所以$2 - 5 = -\frac{3}{8}(y - 2)$，所以$y = 10$，所以点$C$的纵坐标为$10$。

18. [2024·黄石二中月考]已知三点$A(-3,0)$，$B(9,-3)$，$C(3,6)$，且$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，求证：$\overrightarrow{EF}//\overrightarrow{AB}$。

答案： 18.证明：因为$\overrightarrow{AC} = (3, 6) - (-3, 0) = (6, 6)$，所以$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} = (2, 2)$。记坐标原点为$O$，则$\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AE} = (-3, 0) + (2, 2) = (-1, 2)$。因为$\overrightarrow{BC} = (3, 6) - (9, -3) = (-6, 9)$，所以$\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} = (-2, 3)$，所以$\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BF} = (9, -3) + (-2, 3) = (7, 0)$，则$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OE} = (7, 0) - (-1, 2) = (8, -2)$。又$\overrightarrow{AB} = (9, -3) - (-3, 0) = (12, -3)$，$8 × (-3) - 12 × (-2) = 0$，所以$\overrightarrow{EF} // \overrightarrow{AB}$。

19. [2024·清远三中期中]设$A$，$B$，$C$，$D$为平面内的四点，且$A(1,3)$，$B(2,-2)$，$C(4,1)$。
(1)若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$，求点$D$的坐标；
(2)已知$P$是线段$AC$的三等分点，求点$P$的坐标；
(3)设向量$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}$，$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{BC}$，若向量$k\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}$平行，求实数$k$的值。

答案： 19.
(1)设$D(x, y)$。因为$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$，所以$(2, -2) - (1, 3) = (x, y) - (4, 1)$，化为$(1, -5) = (x - 4, y - 1)$，所以$\begin{cases}x - 4 = 1, \\y - 1 = -5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 5, \\y = -4,\end{cases}$所以点$D$的坐标为$(5, -4)$。
(2)当$P$是线段$AC$的三等分点时，有两种情况，即$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PC}$或$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PC}$。若$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PC}$，则点$P$的坐标是$(2, \frac{7}{3})$；若$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PC}$，则点$P$的坐标是$(3, \frac{5}{3})$。
(3)因为$a = \overrightarrow{AB} = (1, -5)$，$b = \overrightarrow{BC} = (2, 3)$，所以$ka - b = k(1, -5) - (2, 3) = (k - 2, -5k - 3)$，$a + 3b = (1, -5) + 3(2, 3) = (7, 4)$。因为向量$ka - b$与$a + 3b$平行，所以$7(-5k - 3) - 4(k - 2) = 0$，解得$k = -\frac{1}{3}$。

1. [2024·潜江中学月考]在$\triangle ABC$中，$P$在$BC$上，且$\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PC}$，$Q$为$AC$的中点，若$\overrightarrow{PA}=(4,3)$，$\overrightarrow{PQ}=(1,5)$，则$\overrightarrow{BC}=$(D)

A.$(-2,7)$
B.$(6,-21)$
C.$(2,-7)$
D.$(-6,21)$

答案： 1.D 【解析】因为$\overrightarrow{BP} = 2\overrightarrow{PC}$，所以$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} - \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} = (4, 3)$，$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{CQ} - \overrightarrow{CP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} - (-\frac{1}{3} \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}) + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} - \frac{1}{6} \overrightarrow{BC} = (1, 5)$，即$\overrightarrow{BA} - \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} = (2, 10)$，由② - ①得$\frac{1}{3} \overrightarrow{BC} = (-2, 7)$，则$\overrightarrow{BC} = (-6, 21)$。

2. [2024·武汉二中月考]已知集合$M=\{\boldsymbol{a}\mid\boldsymbol{a}=(1,2) + \lambda_{1}(3,4),\lambda_{1} \in \mathbf{R}\}$，$N=\{\boldsymbol{a}\mid\boldsymbol{a}=(-2,-2) + \lambda_{2}(4,5),\lambda_{2} \in \mathbf{R}\}$，则$M\cap N=$(C)

A.$\{(1,1)\}$
B.$\{(1,1),(-2,-2)\}$
C.$\{(-2,-2)\}$
D.$\varnothing$

答案： 2.C 【解析】令$(1, 2) + \lambda_1(3, 4) = (-2, -2) + \lambda_2(4, 5)$，即$(1 + 3\lambda_1, 2 + 4\lambda_1) = (-2 + 4\lambda_2, -2 + 5\lambda_2)$，所以$\begin{cases}1 + 3\lambda_1 = -2 + 4\lambda_2, \\2 + 4\lambda_1 = -2 + 5\lambda_2,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda_1 = -1, \\\lambda_2 = 0,\end{cases}$所以$M \cap N = \{(-2, -2)\}$。

3. [2024·哈师大附中月考]已知两点$A(1,0)$，$B(1,\sqrt{3})$，$O$为坐标原点，点$C$在第二象限，且$\angle AOC = 120^{\circ}$。若$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}(\lambda \in \mathbf{R})$，则$\lambda=$(C)

A.$-1$
B.$2$
C.$1$
D.$-2$

答案： 3.C 【解析】由题意，可设$C(-x, \sqrt{3}x) (x ＞ 0)$，所以$\overrightarrow{OC} = (-x, \sqrt{3}x)$，$\overrightarrow{OA} = (1, 0)$，$\overrightarrow{OB} = (1, \sqrt{3})$。由$\overrightarrow{OC} = -2\overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB}$，得$(-x, \sqrt{3}x) = -2(1, 0) + \lambda(1, \sqrt{3})$，即$\begin{cases}-x = \lambda - 2, \\\sqrt{3}x = \sqrt{3} \lambda,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda = 1, \\x = 1.\end{cases}$故选C.

4. [2024·广东执信中学月考]在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，已知两点$A(3,1)$，$B(-1,3)$。若点$C(x,y)$满足$\overrightarrow{OC}=\alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}$，其中$\alpha$，$\beta \in \mathbf{R}$，且$\alpha + \beta = 1$，则$x$，$y$满足的关系式为(D)

A.$3x + 2y - 11 = 0$
B.$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$
C.$2x - y = 0$
D.$x + 2y - 5 = 0$

答案： 4.D 【解析】由$\overrightarrow{OC} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}$，得$(x, y) = (3\alpha - \beta, \alpha + 3\beta)$，所以$\begin{cases}x = 3\alpha - \beta, \\y = \alpha + 3\beta,\end{cases}$因为$\alpha + \beta = 1$，所以$\begin{cases}\alpha = \frac{3x + y}{10}, \\\beta = \frac{-x + 3y}{10},\end{cases}$所以$x + 2y - 5 = 0$。故选D.

5. [2024·武汉中学月考]如图，四边形$ABCD$是边长为$1$的正方形，延长$CD$至$E$，使得$DE = 2CD$。动点$P$从点$A$出发，沿正方形$ABCD$的边按逆时针方向运动一周回到$A$点，若$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AE}$，则$\lambda - \mu$的取值范围为[0, 2]。

答案：
5.$[0, 2]$ 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则$B(1, 0)$，$E(-2, 1)$，所以$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AE} = \lambda(1, 0) + \mu(-2, 1) = (\lambda - 2\mu, \mu)$。当点$P$在$AB$上时，$\begin{cases}0 \leq \lambda - 2\mu \leq 1, \\\mu = 0,\end{cases}$则$\lambda - \mu \in [0, 1]$；当点$P$在$BC$上时，$\begin{cases}\lambda - 2\mu = 1, \\0 \leq \mu \leq 1,\end{cases}$则$\lambda - \mu \in [1, 2]$；当点$P$在$CD$上时，$\begin{cases}0 \leq \lambda - 2\mu \leq 1, \\\mu = 1,\end{cases}$则$\lambda - \mu \in [1, 2]$；当点$P$在$DA$上时，$\begin{cases}\lambda - 2\mu = 0, \\0 \leq \mu \leq 1,\end{cases}$则$\lambda - \mu \in [0, 1]$。综上所述，$\lambda - \mu$的取值范围为$[0, 2]$。