《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. (多选)给出下列条件(l 为直线,α 为平面),其中能够推出$l⊥α$的有(BD)

A.l 垂直于α内一五边形的两条边
B.l 垂直于α内三条不都平行的直线
C.l 垂直于α内无数条直线
D.l 垂直于α内正六边形的三条边

答案： 1.BD [解析]如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.A，C都有可能垂直的是平行直线，不能推出$l\bot \alpha$．故选BD.

2. [2024·唐山三中期末]如图,在以下四个正方体中,直线 AB 与平面 CDE 垂直的是(B)


A.①②
B.②④
C.①③
D.②③

答案： 2.B [解析]对于①，易证AB与CE所成的角为$45^{\circ}$，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证$AB\bot CE$，$AB\bot ED$，且$CE\cap ED=E$，所以$AB\bot$平面CDE；对于③，易证AB与CE所成的角为$60^{\circ}$，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证$ED\bot AB$，$EC\bot AB$，且$EC\cap ED=E$，所以$AB\bot$平面CDE.故选B.

3. [2024·安庆一中月考]如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,CD 的中点,H 为 EF 的中点,沿 AE,EF,FA 将正方形折起,使 B,C,D 重合于点 O,则在四面体 A - OEF 中,下列说法中正确的是(B)


A.AH⊥平面 OEF
B.AO⊥平面 OEF
C.AE⊥平面 OEF
D.AF⊥平面 OEF

答案：
3.B [解析]因为在原正方形ABCD中，$AB\bot BC$，$AD\bot DC$，$BC\bot CD$，所以折叠后$AO\bot OE$，$AO\bot OF$.又$OE\cap OF=O$，$OE,OF\subset$平面OEF，所以$AO\bot$平面OEF，故B正确；过一点与一平面垂直的直线有且只有一条，且AE，AF，AH均不与AO重合，所以AE，AF，AH均不与平面OEF垂直，故A，C，D错误.故选B.

4. [2024·大连三中月考]若斜线段 AB 的长是它在平面α上的射影的长的 2 倍,则 AB 与平面α所成的角是(A)

A.$60^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案：
4.A [解析]斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，$\angle ABO$即是斜线段AB与平面$\alpha$所成的角.因为$AB=2BO$，所以$\cos \angle ABO=\frac{BO}{AB}=\frac{1}{2}$，所以$\angle ABO=60^{\circ}$.

5. [2024·南平二中单元检测]在正方体 ABCD - $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,$AB_{1}$与平面$ABC_{1}D_{1}$所成的角为(A)

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案：
5.A [解析]如图，连接$B_1C$交$BC_1$于点E，连接AE.在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，易证$B_1C\bot BC_1$，$B_1C\bot AB$，且$BC_1\cap AB=B$，所以$B_1C\bot$平面$AB C_1D_1$，所以$AB_1$与平面$AB C_1D_1$所成的角为$\angle B_1AE$.设正方体的棱长为$a$，在$Rt\triangle B_1AE$中，$AB_1=\sqrt{2}a$，$B_1E=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，所以$\sin\angle B_1AE=\frac{B_1E}{AB_1}=\frac{1}{2}$，所以$\angle B_1AE=30^{\circ}$.故选A.

6. [2024·南昌一中月考]如图,在正三棱柱 ABC - $A_{1}B_{1}C_{1}$中,底面边长为 2,侧棱长为 3,D 是侧面$BB_{1}C_{1}C$的两条对角线的交点,则直线 AD 与底面 ABC 所成角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案：
6.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ [解析]如图，取BC的中点E，连接DE，AE，由题知D是$BC_1$的中点，所以$DE// CC_1$，$DE=\frac{1}{2}CC_1=\frac{3}{2}$.由题知$CC_1\bot$平面ABC，所以$DE\bot$平面ABC.易知AE是斜线AD在底面上的射影，所以$\angle DAE$为直线AD与底面ABC所成的角.在正三角形ABC中，$AE=\sqrt{3}$，所以直线AD与底面ABC所成角的正切值为$\frac{DE}{AE}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

7. (多选)若 m,n 表示两条不同的直线,α 表示平面,则下列命题中正确的有(ABC)

A.$m// n,n⊥α\Rightarrow m⊥α$
B.$m⊥α,n⊥α\Rightarrow m// n$
C.$m⊥α,n// α\Rightarrow m⊥n$
D.$m// α,m⊥n\Rightarrow n⊥α$

答案： 7.ABC [解析]若n和m确定的平面平行于$\alpha$，则$n// \alpha$，故D不正确.易知A，B，C正确.

8. [2024·邯郸一中月考](多选)已知在正方体 ABCD - $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,M 是 AB 上一点,N 是$A_{1}C$的中点,$MN⊥$平面$A_{1}DC$,则下列正确的有(AC)

A.$MN// AD_{1}$
B.MN 与$AD_{1}$异面
C.M 为 AB 的中点
D.M 为 AB 上任一点

答案：
8.AC [解析]因为四边形$ADD_1A_1$为正方形，所以$AD_1\bot A_1D$.因为$CD\bot$平面$ADD_1A_1$，所以$CD\bot AD_1$.因为$A_1D\cap CD=D$，$A_1D,CD\subset$平面$A_1DC$，所以$AD_1\bot$平面$A_1DC$.又$MN\bot$平面$A_1DC$，所以由线面垂直的性质定理知$MN// A_1D$，故A正确，B错误.设$A_1D$与$AD_1$交于点O，连接ON，在$\triangle A_1DC$中，$A_1O=OD$，$A_1N=NC$，所以$ON// \frac{1}{2}DC// \frac{1}{2}AB$，所以$ON// AM$.又$MN// OA$，所以四边形AMNO为平行四边形，所以$ON=AM$.因为$ON=\frac{1}{2}AB$，所以$AM=\frac{1}{2}AB$，所以M是AB的中点.故C正确，D错误.故选AC.

9. [2024·榆林一中月考]如图,已知四棱锥 E - ABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 F - ABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD 垂直,$AB// CD,AB = 3,AD = 4,AE = 5,AF = 3\sqrt{2}$,证明:$DF//$平面 BCE.

答案： 9.证明：因为$DE\bot$平面ABCD，所以$DE\bot AD$，因为$AD = 4$，$AE = 5$，所以$DE=\sqrt{AE^{2}-AD^{2}} = 3$.因为$BF\bot$平面ABCD，所以$BF\bot AB$.因为$AB = 3$，$AF = 3\sqrt{2}$，所以$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}} = 3$.又$DE\bot$平面ABCD，$BF\bot$平面ABCD，所以$DE// BF$.又$BF = DE$，所以四边形BEDF为平行四边形，故$DF// BE$.因为$BE\subset$平面BCE，$DF⊄$平面BCE，所以$DF//$平面BCE.