《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·南昌九中月考]如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧$\overset{\frown}{CD}$所在平面垂直，M是$\overset{\frown}{CD}$上异于C，D的点.
(1)求证:平面AMD⊥平面BMC;
(2)在线段AM上是否存在一点P，使得MC//平面PBD?请说明理由.

答案：

(1)证明：由题意知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD.
又DM⊂平面CMD，所以BC⊥DM.
因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM=C，BC，CM⊂平面BMC，
所以DM⊥平面BMC.
又DM⊂平面AMD，
所以平面AMD⊥平面BMC.
(2)存在.当P为AM的中点时，MC//平面PBD.理由如下：
如图，连接AC，BD交于O，连接OP.
因为MC//平面PBD，MC⊂平面AMC，平面PBD∩平面AMC = OP，所以MC//OP.
因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点，所以P为AM的中点.

2. [2024·亳州一中期末]如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F，G分别为BC，PB，AD的中点.
(1)证明:EF//平面PAC;
(2)证明:平面PCG//平面AEF;
(3)在线段BD上是否存在一点H，使得FH//平面PCG?请说明理由.

答案：

(1)证明：因为E，F分别是BC，BP的中点，所以EF//PC.
因为PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF//平面PAC.
(2)证明：因为E，G分别是BC，AD的中点，AD⊥BC，所以AG⊥CE，所以四边形AECG为平行四边形，所以AE//CG.
因为CG⊂平面PCG，AE⊄平面PCG，所以AE//平面PCG.
因为EF//PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，所以EF//平面PCG.
因为AE∩EF = E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以平面PCG//平面AEF.
(3)存在.理由如下：
如图，设GC，AE与BD分别交于M，N两点，连接PM，FN.
由
(2)知平面AEF//平面PCG.
又平面AEF∩平面PBD = FN，平面PCG∩平面PBD = PM，所以FN//PM.
因为PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，所以FN//平面PGC，所以点N即为所找的点H.

3. [2024·衡水中学月考]如图，在直三棱柱ABC-$A_1B_1C_1$中，AC = BC = 1，∠ACB = 90°，$AA_1$ = $\sqrt{2}$，D是$A_1B_1$的中点.
(1)求证:$C_1D$⊥平面$AA_1B_1B$;
(2)当点F在$BB_1$上的什么位置时，有$AB_1$⊥平面$C_1DF$?并证明你的结论.

答案：
(1)证明：因为三棱柱ABC - A₁B₁C₁是直三棱柱，AC = BC = 1，所以A₁C₁ = B₁C₁ = 1，且∠A₁C₁B₁ = 90°，AA₁⊥平面A₁B₁C₁.
因为C₁D⊂平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥C₁D.
因为D是A₁B₁的中点，所以C₁D⊥A₁B₁.
又A₁B₁∩AA₁ = A₁，A₁B₁，AA₁⊂平面AA₁B₁B，所以C₁D⊥平面AA₁B₁B.
(2)当F为BB₁的中点时，AB₁⊥平面C₁DF.
证明：如图，作DE⊥AB₁于点E，延长DE交BB₁于点F，连接C₁F.由
(1)知C₁D⊥平面AA₁B₁B，AB₁⊂平面AA₁B₁B，所以C₁D⊥AB₁.
又AB₁⊥DF，DF∩C₁D = D，DF，C₁D⊂平面C₁DF，所以AB₁⊥平面C₁DF.
易知AA₁ = A₁B₁ = √2，所以四边形AA₁B₁B为正方形.
又D为A₁B₁的中点，DF⊥AB₁，所以F为BB₁的中点.
所以当F为BB₁的中点时，AB₁⊥平面C₁DF.

4. [2024·哈尔滨三中期中]如图1，⊙O的直径AB = 4，C，D为⊙O上两点，且∠CAB = 45°，F为$\overset{\frown}{BC}$的中点.沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).
(1)求证:OF//平面ACD.
(2)在线段AD上是否存在一点E，使得平面OCE⊥平面ACD?若存在，试指出点E的位置;若不存在，请说明理由.

答案：
(1)证明：连接CO，由∠CAB = 45°知∠COB = 90°.因为F为BC的中点，所以∠FOB = 45°，所以OF//AC.又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，所以OF//平面ACD.
(2)存在，E为AD的中点.理由如下：
连接OD，OE.因为OA = OD，所以OE⊥AD.
又OC⊥AB，两半圆所在平面互相垂直，交线为AB，所以OC⊥平面OAD.
又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC.
因为OE∩OC = O，OE，OC⊂平面OCE，所以AD⊥平面OCE.
又AD⊂平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD.