《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

10. [2024·烟台二中月考]把直径分别为 $6$ cm，$8$ cm，$10$ cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为(B)

A.$3$ cm
B.$6$ cm
C.$8$ cm
D.$12$ cm

答案： 10.B[解析]设大铁球的半径为Rcm，则有$\frac{4}{3}$πR³ = $\frac{4}{3}$π×($\frac{6}{2}$)³ + $\frac{4}{3}$π×($\frac{8}{2}$)³ + $\frac{4}{3}$π×($\frac{10}{2}$)³，解得R = 6.

11. [2024·孝感高中月考]两个球的表面积之差为 $48\pi$，它们的大圆周长之和为 $12\pi$，则这两个球的半径之差为(B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 11.B[解析]设两球半径分别为R₁，R₂，且R₁ ＞ R₂，则4π(R₁² - R₂²) = 48π，2π(R₁ + R₂) = 12π，所以R₁ - R₂ = 2.

12. [2024·四川双流中学月考]一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为3:2.

答案： 12.3:2[解析]设圆柱的底面半径为r，轴截面正方形边长a，则a = 2r，所以圆柱的侧面积S₁ = 2πra = 4πr².再设与圆柱表面积相等的球半径为R，则球的表面积S₂ = 4πR² = 4πr²，解得R = r，因此圆柱的体积为V₁ = πr²×a = 2πr³，球的体积为V₂ = $\frac{4}{3}$πR³ = $\frac{4}{3}$πr³，因此圆柱的体积与球的体积之比为V₁:V₂ = 3:2.

13. [2024·盐城中学月考]已知球心到过球面上 $A$，$B$，$C$ 三点的截面的距离等于球的半径的一半，且 $AC = BC = 6$，$AB = 4$，求球的表面积.

答案：
13.如图，设球心为O，球的半径为R，作OO₁垂直平面ABC于点O₁，由于OA = OB = OC = R，则O₁是△ABC的外心，即O₁A = O₁B = O₁C.设M是AB的中点，连接CM，由于AC = BC，则O₁在CM上.设O₁M = x，易知O₁M⊥AB.
则O₁A = $\sqrt{2² + x²}$，OC = CM - OM = 4$\sqrt{2}$ - x.又O₁A = O₁C，所以$\sqrt{2² + x²}$ = 4$\sqrt{2}$ - x，解得x = $\frac{7\sqrt{2}}{4}$，则OA = OB = OC = $\frac{9\sqrt{2}}{4}$.在Rt△OO₁A中，O₁O = $\frac{R}{2}$，∠OO₁A = 90°，OA = R，由勾股定理得($\frac{R}{2}$)² + ($\frac{9\sqrt{2}}{4}$)² = R²，解得R = $\frac{3\sqrt{6}}{2}$.故球的表面积S球 = 4πR² = 54π.

1. [2024·厦门双十中学月考]在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 2$，$BC = \frac{3}{2}$，$\angle ABC = 120^{\circ}$，若 $\triangle ABC$ 绕直线 $BC$ 旋转一周，则所形成的几何体的体积是(A)

A.$\frac{3\pi}{2}$
B.$\frac{7\pi}{2}$
C.$\frac{5\pi}{2}$
D.$\frac{9\pi}{2}$

答案：
1.A[解析]若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以△ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD为轴截面的小圆锥后剩下的部分，其轴截面如图所示.设AD与CB的延长线交于点E.因为AB = 2，BC = $\frac{3}{2}$，∠ABC = 120°，所以AE = ABsin60° = $\sqrt{3}$，BE = ABcos60° = 1，则所求体积为$\frac{1}{3}$π·AE²·CE - $\frac{1}{3}$π·AE²·BE = $\frac{1}{3}$π·AE²·CB = $\frac{1}{3}$π×($\sqrt{3}$)²×$\frac{3}{2}$ = $\frac{3π}{2}$.故选A.

2. [2024·沧州一中月考]三星堆遗址位于四川省广汉市，距今约 $5000$ 至 $3000$ 年.考古工作者在三星堆遗址祭祀坑区 $4$ 号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长 $2$ cm，外径长 $3$ cm，筒高 $4$ cm，中部为棱长是 $3$ cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积和表面积分别为(A)

A.$(27 - \frac{7\pi}{4})cm^3$，$(54 + 9\pi)cm^2$
B.$(54 + \pi)cm^3$，$(27 - \frac{7\pi}{4})cm^2$
C.$(27 + 2\pi)cm^3$，$(54 + 9\pi)cm^2$
D.$(27 - \frac{7\pi}{4})cm^3$，$(45 + 2\pi)cm^2$

答案： 2.A[解析]由图可知，组合体的体积V = π×4×[($\frac{3}{2}$)² - 1²] + 3×3×3 - π×3×($\frac{3}{2}$)² = (27 - $\frac{7π}{4}$)(cm³).表面积S = 3π×1 + 2×[3×3 - π×($\frac{3}{2}$)²] + 3×3×4 + 2π×[($\frac{3}{2}$)² - 1²] + 2π×4 = (54 + 9π)(cm²).

3. [2024·武汉中学月考]如图，一个底面半径为 $2$ 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 $2$ 和 $3$，则该几何体的体积为10π.

答案：
3.10π[解析]用一个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×2²×(2 + 3) = 20π，故所求几何体的体积为10π.

4. 如图所示，半径为 $R$ 的半圆内的阴影部分以直径 $AB$ 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积及体积分别为$\frac{11 + \sqrt{3}}{2}$πR²(其中 $\angle BAC = 30^{\circ}$).

答案：
4.$\frac{11 + \sqrt{3}}{2}$πR²，$\frac{5}{6}$πR³[解析]如图所示，过点C作CO₁⊥AB，交AB于点O₁，在半圆中可得∠BCA = 90°，∠BAC = 30°，AB = 2R，所以AC = $\sqrt{3}$R，BC = R，CO₁ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$R，所以S球 = 4πR²，S圆锥AO₁侧 = π×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×$\sqrt{3}$R = $\frac{3}{2}$πR²，S圆锥BO₁侧 = π×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×R = $\frac{\sqrt{3}}{2}$πR²，所以S几何体表 = S球 + S圆锥AO₁侧 + S圆锥BO₁侧 = $\frac{11 + \sqrt{3}}{2}$πR².因为V球 = $\frac{4}{3}$πR³，V圆锥AO₁ = $\frac{1}{3}$π·CO₁²·AO₁ = $\frac{1}{4}$πR²·AO₁，V圆锥BO₁ = $\frac{1}{3}$π·CO₁²·BO₁ = $\frac{1}{4}$πR²·BO₁，所以V几何体 = V球 - (V圆锥AO₁ + V圆锥BO₁) = $\frac{4}{3}$πR³ - $\frac{1}{4}$πR²·2R = $\frac{5}{6}$πR³.