《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·扬州一中期中]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$.下列等式正确的是(B)

A.$a:b=A:B$
B.$a:b=\sin A:\sin B$
C.$a:b=\sin B:\sin A$
D.$a\sin A=b\sin B$

答案： 1.B[解析]由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$可得$a:b = \sin A:\sin B$，可知B正确.故选B

2. [2024·阳泉一中月考]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$.下列关系式中一定成立的是(D)

A.$a＞b\sin A$
B.$a=b\sin A$
C.$a＜b\sin A$
D.$a\geqslant b\sin A$

答案： 2.D[解析]由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得$a = \frac{b\sin A}{\sin B}$.在$\triangle ABC$中，因为$0 ＜ \sin B \leq 1$，所以$\frac{1}{\sin B} \geq 1$，所以$a \geq b\sin A$.

3. [2024·榆林一中月考]在$\triangle ABC$中，已知$A=30^{\circ}$，$a=8$，则$\triangle ABC$的外接圆直径是(D)

A.10
B.12
C.14
D.16

答案： 3.D[解析]$\triangle ABC$的外接圆直径$2R = \frac{a}{\sin A}=16$（其中$R$为$\triangle ABC$外接圆的半径）.故选D.

4. [2024·扬州中学月考]在$\triangle ABC$中，若$A=60^{\circ}$，$a=\sqrt{3}$，则$\frac{a+2b+3c}{\sin A+2\sin B+3\sin C}$的值为2.

答案： 4.2　[解析]由正弦定理结合题意有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} = 2$，结合合比定理可知$\frac{a + 2b + 3c}{\sin A + 2\sin B + 3\sin C}=\frac{a}{\sin A}=2$.

5. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$.已知$A=45^{\circ}$，$B=30^{\circ}$，$c=10$，则$a=$(A)

A.$10(\sqrt{3}-1)$
B.$5(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
C.$10\sqrt{3}-1$
D.$5\sqrt{6}-\sqrt{2}$

答案： 5.A[解析]根据三角形内角和定理，得$C = 180^{\circ} - (A + B)=105^{\circ}$，所以$\sin C = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ})=\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，得$c = \frac{10 × \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 10(\sqrt{3} - 1)$.故选A.

6. [2024·烟台一中月考]在$\triangle ABC$中，$a=4$，$A=30^{\circ}$，$B=60^{\circ}$，则$b=$(A)

A.$4\sqrt{3}$
B.6
C.$\sqrt{3}$
D.9

答案： 6.A[解析]因为$a = 4$，$A = 30^{\circ}$，$B = 60^{\circ}$，所以由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得$b = \frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{4 × \sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=\frac{4 × \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{3}$.故选A.

7. [2024·贵阳一中月考]在$\triangle ABC$中，$a+b=\sqrt{3}$，$A=\frac{\pi}{3}$，$B=\frac{\pi}{4}$，则$a=$$3(\sqrt{3} - \sqrt{2})$.

答案： 7.$3(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ [解析]由正弦定理得$b = \frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{a × \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$，由$a + b = a + \frac{\sqrt{6}}{3}a = \sqrt{3}$，解得$a = 3(\sqrt{3} - \sqrt{2})$.

8. [2024·长治二中月考]在$\triangle ABC$中，若$\tan A=\frac{1}{2}$，$C=120^{\circ}$，$a=1$，则$c=$$\frac{\sqrt{15}}{2}$.

答案： 8.$\frac{\sqrt{15}}{2}$[解析]由$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}=\frac{1}{2}$，得$\cos A = 2\sin A$，代入$\sin^{2}A + \cos^{2}A = 1$，得$5\sin^{2}A = 1$，因为$A \in (0,\pi)$，所以$\sin A ＞ 0$，所以$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$.由$\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$，得$c = \frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{15}}{2}$.

9. [2024·华南师大附中月考]设$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，若$a=\sqrt{3}$，$\sin B=\frac{1}{2}$，$C=\frac{\pi}{6}$，则$b=$1.

答案： 9.1　[解析]因为$\sin B = \frac{1}{2}$且$B \in (0,\pi)$，所以$B = \frac{\pi}{6}$或$B = \frac{5\pi}{6}$，又$C = \frac{\pi}{6}$，所以$B = \frac{\pi}{6}$，所以$A = \pi - B - C = \frac{2\pi}{3}$，又$a = \sqrt{3}$，所以由正弦定理得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，即$\frac{\sqrt{3}}{\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{b}{\sin\frac{\pi}{6}}$，解得$b = 1$.

10. [2024·邯郸一中期末]在$\triangle ABC$中，$AB=2$，$AC=3$，$B=30^{\circ}$，则$\cos C=$(A)

A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

答案： 10.A[解析]因为$AB = 2$，$AC = 3$，$B = 30^{\circ}$，所以由正弦定理可得$\sin C = \frac{AB\sin B}{AC}=\frac{2 × \frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{3}$.又因为$AB ＜ AC$，所以$C$为锐角，所以$\cos C = \sqrt{1 - \sin^{2}C}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.故选A.

11. [2024·长沙雅礼中学期中]已知在$\triangle ABC$中，$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，$B=60^{\circ}$，那么$A=$(A)

A.$45^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$或$60^{\circ}$
D.$135^{\circ}$或$45^{\circ}$

答案： 11.A[解析]在$\triangle ABC$中，因为$a = \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3}$，所以$a ＜ b$，所以$A ＜ B$.又因为$B = 60^{\circ}$，所以$A ＜ 60^{\circ}$.由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得$\sin A = \frac{a\sin B}{b}=\frac{\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$A = 45^{\circ}$或$A = 135^{\circ}$（舍去）.故选A.

12. [2024·北京四中期末]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$.若$a=4\sqrt{3}$，$b=4$，$A=\frac{\pi}{3}$，则$B=$(A)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$\frac{2\pi}{3}$

答案： 12.A[解析]由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$可得$\sin B = \frac{b\sin A}{a}=\frac{4 × \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$.因为$a = 4\sqrt{3} ＞ b = 4$，所以$A ＞ B$，所以$B = \frac{\pi}{6}$.故选A.

13. [2024·冀州中学月考]在$\triangle ABC$中，若$B=30^{\circ}$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=2$，则$AB$边上的高是1或2.

答案： 13.1或2　[解析]由正弦定理$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$，得$\sin C = \frac{AB\sin B}{AC}=\frac{2\sqrt{3}\sin 30^{\circ}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.因为$0^{\circ} ＜ C ＜ 150^{\circ}$，所以$C = 60^{\circ}$或$C = 120^{\circ}$.
当$C = 60^{\circ}$时，$A = 90^{\circ}$，$AB$边上的高为$2$；
当$C = 120^{\circ}$时，$A = 30^{\circ}$，$AB$边上的高为$2\sin 30^{\circ} = 1$.

14. [2024·上海格致中学单元检测]根据下面的条件解$\triangle ABC$，则解唯一的是(D)

A.$a=25$，$b=30$，$A=30^{\circ}$
B.$a=18$，$b=20$，$A=100^{\circ}$
C.$a=20$，$b=34$，$A=60^{\circ}$
D.$a=60$，$b=50$，$A=45^{\circ}$

答案： 14.D[解析]对于A，由$\sin B = \frac{30 × \frac{1}{2}}{25}=\frac{3}{5} ＞ \frac{1}{2} = \sin A$可得$A ＜ B ＜ \frac{\pi}{2}$或$\frac{\pi}{2} ＜ B ＜ \pi - A$，因此，三角形有两解；
对于B，三角形中，大边对大角，由$b = 20 ＞ a = 18$得$B ＞ A$，又$A = 100^{\circ}$为钝角，所以$B$也为钝角，显然不成立，故三角形解的个数为$0$；
对于C，由$\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$，$\frac{34 × \frac{\sqrt{3}}{2}}{20}=\frac{17\sqrt{3}}{20} ＞ 1$不成立，所以三角形解的个数为$0$；
对于D，因为$\sin B = \frac{50 × \frac{\sqrt{2}}{2}}{60}=\frac{5\sqrt{2}}{12} ＜ \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin A$，所以$0 ＜ B ＜ A$，因此三角形解的个数为$1$.故选D.