《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·青岛二中月考]下面给出的关系式中正确的个数是(C)
①$\boldsymbol{0}· \boldsymbol{a}=0$；②$\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}· \boldsymbol{a}$；③$\boldsymbol{a}^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}$；④$|\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}|\leqslant \boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}$；⑤$(\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}· \boldsymbol{b}^{2}$。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.C[解析]显然①②③正确;对于④,|a·b|=||a|·|b|cosθ|=|a||b||cosθ|,a·b=|a||b|cosθ,而|cosθ|≥cosθ,故|a·b|≥a·b,④错误;对于⑤,(a·b)²=(|a||b|cosθ)²=a²·b²cos²θ≠a²·b²,⑤错误.故选C.

2. [2024·衡阳八中月考]已知向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，且$|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol{b}|=2$，则$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})· (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=$(C)

A.2
B.$-1$
C.$-3$
D.$-2-\sqrt{3}$

答案： 2.C[解析]因为向量a与b的夹角为$\frac{π}{3}$,且|a|=1,|b|=2,所以a·b=|a||b|cos$\frac{π}{3}$=1×2×$\frac{1}{2}$=1,所以(2a + b)·(a - b)=2a² - b² - a·b=2 - 4 - 1=-3.

3. [2024·烟台一中期中](多选)已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=1$。若$\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}=\frac{1}{2}$，则$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})· (2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$的值可能为(BCD)

A.$3-\sqrt{3}$
B.$-2$
C.0
D.$-\sqrt{2}$

答案： 3.BCD[解析]因为|a|=|b|=1,且a·b=$\frac{1}{2}$,所以|a - b|=$\sqrt{|a|² - 2a·b + |b|²}$=$\sqrt{1 - 2×\frac{1}{2} + 1}$=1,所以(a - b)·(2b - c)=2a·b - a·c - 2b² + b·c=2×$\frac{1}{2}$ - 2+(b - a)·c=-1+(b - a)·c=-1+|b - a|·|c|·cos⟨b - a,c⟩=-1+cos⟨b - a,c⟩.因为cos⟨b - a,c⟩∈[-1,1],所以(a - b)·(2b - c)∈[-2,0].分析选项可知3 - $\sqrt{3}$∉[-2,0],-2∈[-2,0],0∈[-2,0],-$\sqrt{2}$∈[-2,0].故选BCD.

4. [2024·重庆巴蜀中学月考]已知$|\boldsymbol{a}|=6$，$|\boldsymbol{b}|=3$，$\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}=-12$，$\boldsymbol{e}$是与$\boldsymbol{b}$同向的单位向量，则向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量是(A)

A.$-4\boldsymbol{e}$
B.$4\boldsymbol{e}$
C.$-2\boldsymbol{e}$
D.$2\boldsymbol{e}$

答案： 4.A[解析]设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=$\frac{a·b}{|a||b|}$=$\frac{-12}{6×3}$=-$\frac{2}{3}$,则向量a在b上的投影向量为|a|cosθe=6×(-$\frac{2}{3}$)e=-4e.

5. [2024·厦门一中期末](多选)已知单位向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$，若$\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$上的投影向量为$\boldsymbol{c}$，向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$\boldsymbol{d}$，则下列结论正确的有(ABD)

A.$|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{d}|$
B.$\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}· \boldsymbol{c}$
C.$\boldsymbol{d}=\frac{\sqrt{3}}{3}\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{c}· \boldsymbol{d}=-\frac{\sqrt{3}}{9}$

答案： 5.ABD[解析]因为a和b为单位向量，所以|a|=|b|=1.又a·b=|a||b|cos⟨a,b⟩=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以cos⟨a,b⟩=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以向量b在向量a上的投影向量c=|b|cos⟨a,b⟩a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a,向量a在向量b上的投影向量d=|a|cos⟨a,b⟩b=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$b,所以|c|=|-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,|d|=|-$\frac{\sqrt{3}}{3}$b|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,故A正确,C错误.a·c=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,故B正确.c·d=|c||d|cos⟨c,d⟩=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos⟨a,b⟩=$\frac{1}{3}$×(-$\frac{\sqrt{3}}{3}$)=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$,故D正确.故选ABD.

6. [2024·东营一中月考]已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$均为单位向量，$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})· (\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为(A)

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案： 6.A[解析]因为(2a + b)·(a - 2b)=2a² - 4a·b + a·b - 2b²=-3a·b=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,所以a·b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.设a与b的夹角为θ,则cosθ=$\frac{a·b}{|a||b|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.又因为0°≤θ≤180°,所以θ=30°.

7. [2024·哈尔滨三中期中]若两个非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}|$，则向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$的夹角是(C)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{2}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{5\pi}{6}$

答案： 7.C[解析]由|a + b|=|a - b|=2|a|,得a² + 2a·b + b²=a² - 2a·b + b²=4a²,则$\begin{cases}a·b = 0\\b² = 3a²\end{cases}$,所以cos⟨a + b,a - b⟩=$\frac{a² - b²}{4a²}$=-$\frac{1}{2}$,所以向量a + b与a - b的夹角是$\frac{2π}{3}$.

8. [2024·宁波一中月考]已知$|\boldsymbol{a}|=3$，$|\boldsymbol{b}|=4$，且$(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})· (2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\geqslant 4$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角$\theta$的取值范围是[$\frac{2\pi}{3}$,π]。

答案： 8.[$\frac{2\pi}{3}$,π][解析](a - 2b)·(2a + b)=2a² + a·b - 4a·b - 2b²=2×9 - 3|a||b|cosθ - 2×16=-14 - 3×3×4cosθ≥4,所以cosθ≤-$\frac{1}{2}$,所以θ∈[$\frac{2\pi}{3}$,π].

9. [2024·成都七中月考](多选)已知两个单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$，则下列向量是单位向量的有(CD)

A.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
B.$\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}\boldsymbol{a}-\frac{\sqrt{3}}{3}\boldsymbol{b}$

答案： 9.CD[解析]由两个单位向量a,b的夹角为60°,得|a + b|=$\sqrt{a² + 2a·b + b²}$=$\sqrt{1 + 2×1×1×\frac{1}{2} + 1}$=$\sqrt{3}$,|a + $\frac{1}{2}$b|=$\sqrt{a² + a·b + \frac{1}{4}b²}$=$\sqrt{1 + 1×1×\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$,|a - b|=$\sqrt{a² - 2a·b + b²}$=$\sqrt{1 - 2×1×1×\frac{1}{2} + 1}$=1,|$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a - $\frac{\sqrt{3}}{3}$b|=$\sqrt{\frac{4}{3}a² - \frac{4}{3}a·b + \frac{1}{3}b²}$=$\sqrt{\frac{4}{3}×1×1×\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$=1,所以A,B不是单位向量，C,D是单位向量.

10. [2024·陕西师大附中月考]已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=x$，$\boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}=-\frac{3}{8}x$，则$x=$(B)

A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.3

答案： 10.B[解析]|a + b|²=a² + 2a·b + b²=1,|a - b|²=a² - 2a·b + b²=x²,两式相减得4a·b=1 - x²=-$\frac{3}{2}$x,解得x=2,负根舍去.

11. 已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=2$且$0\leqslant \boldsymbol{a}· \boldsymbol{b}\leqslant 1$，则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$的取值范围是[2,2$\sqrt{2}$]，$|3\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$的最大值是4$\sqrt{2}$ + 2。

答案： 11.[2,2$\sqrt{2}$] 4$\sqrt{2}$ + 2[解析]因为|a - b|=2,所以|a|² - 2a·b + |b|²=4,所以|a|² + |b|²=4 + 2a·b,所以|a + b|=$\sqrt{|a|² + 2a·b + |b|²}$=$\sqrt{4 + 4a·b}$.因为0≤a·b≤1,所以4≤4 + 4a·b≤8,所以2≤|a + b|≤2$\sqrt{2}$,即|a + b|的取值范围是[2,2$\sqrt{2}$].|3a + b|=|2(a + b)+(a - b)|≤2|a + b|+|a - b|=2|a + b|+2≤4$\sqrt{2}$ + 2.

12. [2024·衡水二中月考]若向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a}// \boldsymbol{b}$且$\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{c}· (\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})=$(D)

A.4
B.3
C.2
D.0

答案： 12.D[解析]因为a//b,所以b = λa,λ∈R.所以c·(a + 2b)=c·(a + 2λa)=c·(1 + 2λ)a.因为a⊥c,所以a·c = 0.所以c·(a + 2b)=0.

13. [2024·铁岭一中月考]已知$|\boldsymbol{a}|=3$，$|\boldsymbol{b}|=2$，$\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle =60^{\circ}$。如果$(3\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b})\perp (m\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，那么$m$的值为$\frac{29}{42}$。

答案： 13.$\frac{29}{42}$[解析]由题意知(3a + 5b)·(ma - b)=0,即3ma² + (5m - 3)a·b - 5b²=0,3m×3²+(5m - 3)×3×2cos60° - 5×2²=0,解得m=$\frac{29}{42}$.

14. [2024·西安一中月考]若向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=1$，$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{a}$，$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{b}|=$$\sqrt{2}$。

答案： 14.$\sqrt{2}$[解析]因为(a + b)⊥a,(2a + b)⊥b,|a|=1,所以$\begin{cases}(a + b)·a = 0\\(2a + b)·b = 0\end{cases}$,所以$\begin{cases}a·b = -a² = -1\\2a·b + b² = 0\end{cases}$,把①代入②,得-2 + b²=0,所以b²=2,所以|b|=$\sqrt{2}$.