《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

5. [2023·上海卷]国内生产总值(GDP)是衡量该地区经济状况的最佳指标,根据统计数据显示,某市在2020年间经济高质量增长,GDP稳定增长,第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元、241亿元,且四个季度的GDP逐季度增长,中位数、平均数相等,则该市2020年的GDP为946 亿元.

答案： 5.946 亿元 【解析】设第二、三季度的 GDP 分别为$x$亿元、$y$亿元.
依题意知$232 ＜ x ＜ y ＜ 241$，
则中位数为$\frac{x + y}{2}$，平均数为$\frac{232 + x + y + 241}{4}$
所以$\frac{x + y}{2}=\frac{232 + x + y + 241}{4}$，所以$x + y = 232 + 241$.
故该市 2020 年的 GDP 为$232 + x + y + 241 = 2(232 + 241)=946$（亿元）.

6. [2023·全国卷乙卷]某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为$x_{i},y_{i}(i = 1,2,·s,10)$.试验结果如下:

记$z_{i}=x_{i}-y_{i}(i = 1,2,·s,10)$,记$z_{1},z_{2},·s,z_{10}$的样本平均数为$\overline{z}$,样本方差为$s^{2}$.
(1)求$\overline{z},s^{2}$;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果$\overline{z}\geqslant 2\sqrt{\frac{s^{2}}{10}}$,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).

答案： 6.
(1)因为$z_i = x_i - y_i (i = 1,2,·s,10)$，
所以$z_1 = 9,z_2 = 6,z_3 = 8,z_4 = -8,z_5 = 15,z_6 = 11,z_7 = 19,z_8 = 18,z_9 = 20,z_{10} = 12$，
所以$\bar{z}=\frac{1}{10} × (9 + 6 + 8 - 8 + 15 + 11 + 19 + 18 + 20 + 12)=11$，
所以$s^2=\frac{1}{10} × (4 + 25 + 9 + 361 + 16 + 0 + 64 + 49 + 81 + 1)=61$.
(2)因为$2\sqrt{\frac{s^2}{10}}=2\sqrt{\frac{61}{10}}=\sqrt{24.4}＜11$，即$2\sqrt{\frac{s^2}{10}}＜\bar{z}$，所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

7. [全国卷Ⅰ改编]某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务,甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表


乙分厂产品等级的频数分布表


(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的频率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?

答案： 7.
(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的频率为$\frac{40}{100}=0.4$，由样本估计总体，甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的频率为 0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的频率为$\frac{28}{100}=0.28$，由样本估计总体，乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的频率为 0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 -5 -75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为$\frac{65 × 40 + 25 × 20 - 5 × 20 - 75 × 20}{100}=15$.
由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 -70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为$\frac{70 × 28 + 30 × 17 + 0 × 34 - 70 × 21}{100}=10$.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.