《2025年热搜题高中数学必修第二册人教版》

1. [2024·河北武邑中学月考]在$\triangle ABC$中，$A = \frac{\pi}{2}$，$AB = AC = 1$，$P$是$AB$边上的动点，$Q$是$AC$边上的动点，则$\overrightarrow{BQ}·\overrightarrow{CP}$的最小值为(B)

A.$-4$
B.$-2$
C.$-1$
D.0

答案：
1.B【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则$A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$，设$P(m,0)$，$Q(0,n)(0 \leq m,n \leq 1)$，则$\overrightarrow{BQ} = (-1,n)$，$\overrightarrow{CP} = (m,-1)$，故$\overrightarrow{BQ} · \overrightarrow{CP} = -(m + n) \geq -2$.

2. [2024·武汉十一中期中]在边长为1的正方形$ABCD$中，$M$为$BC$的中点，点$E$在线段$AB$上运动，则$\overrightarrow{EC}·\overrightarrow{EM}$的取值范围是(C)

A.$[\frac{1}{2},2]$
B.$[0,\frac{3}{2}]$
C.$[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$
D.$[0,1]$

答案：
2.C【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设$E(x,0)(0 \leq x \leq 1)$. 因为$M(1,\frac{1}{2})$，$C(1,1)$，所以$\overrightarrow{EM} = (1 - x,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{EC} = (1 - x,1)$，所以$\overrightarrow{EC} · \overrightarrow{EM} = (1 - x,\frac{1}{2}) · (1 - x,1) = (1 - x)^{2} + \frac{1}{2}$. 又因为$0 \leq x \leq 1$，所以$\frac{1}{2} \leq (1 - x)^{2} + \frac{1}{2} \leq \frac{3}{2}$，即$\overrightarrow{EC} · \overrightarrow{EM}$的取值范围是$[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$.

3. [2024·东北育才学校期中]如图，在直角梯形$ABCD$中，已知$AB// CD$，$\angle DAB = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$AD = CD = 2$，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，点$M$在$AB$上，且满足$OM\perp BD$。
(1)求$\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{BD}$的值；
(2)若$N$为线段$AC$（含端点）上任意一点，求$\overrightarrow{AN}·\overrightarrow{MN}$的最小值。

答案：
3.
(1)以A为坐标原点，AB所在直线为$x$轴，AD所在直线为$y$轴建立如图所示的平面直角坐标系，则$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$，所以$\overrightarrow{BD} = (-4,2)$.由相似三角形易得$O(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$.设$M(m,0)$，$0 ＜ m ＜ 4$，则$\overrightarrow{OM} = (m - \frac{4}{3},-\frac{4}{3})$，所以$\overrightarrow{OM} · \overrightarrow{BD} = (m - \frac{4}{3}) × (-4) + (-\frac{4}{3}) × 2 = -4m + \frac{8}{3} = 0$，解得$m = \frac{2}{3}$，所以$\overrightarrow{AM} = (\frac{2}{3},0)$.所以$\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{BD} = \frac{2}{3} × (-4) + 0 × 2 = -\frac{8}{3}$.

(2)设$N(a,a)$，$0 \leq a \leq 2$，则$\overrightarrow{AN} · \overrightarrow{MN} = (a,a) · (a - \frac{2}{3},a) = 2a^{2} - \frac{2}{3}a = 2(a - \frac{1}{6})^{2} - \frac{1}{18}$，所以当$a = \frac{1}{6}$时，$\overrightarrow{AN} · \overrightarrow{MN}$取得最小值$-\frac{1}{18}$.

4. [2024·扬州中学期末](多选)在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$AC = 4$，$D$为线段$AB$上靠近$A$点的三等分点，$E$为$CD$的中点，则(AC)

A.$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{EB}$的夹角的余弦值为$\frac{15}{17}$
C.$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{CD} = -\frac{15}{2}$
D.$\triangle AED$的面积为2

答案：
4.AC【解析】以点A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为$x$，$y$轴建立平面直角坐标系，如图所示.则$A(0,0)$，$B(3,0)$，$C(0,4)$，$D(1,0)$，$E(\frac{1}{2},2)$，所以$\overrightarrow{AE} = (\frac{1}{2},2)$，$\overrightarrow{AB} = (3,0)$，$\overrightarrow{AC} = (0,4)$，$\overrightarrow{EB} = (\frac{5}{2},-2)$，$\overrightarrow{CD} = (1,-4)$. 对于A，因为$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{6}(3,0) = (\frac{1}{2},0)$，$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(0,4) = (0,2)$，所以$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，故A正确；对于B，$\overrightarrow{AE} · \overrightarrow{EB} = \frac{1}{2} × \frac{5}{2} - 2^{2} = -\frac{11}{4}$，$|\overrightarrow{AE}| = \frac{\sqrt{17}}{2}$，$|\overrightarrow{EB}| = \frac{\sqrt{41}}{2}$，所以$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{EB}$的夹角的余弦值$\cos \langle \overrightarrow{AE},\overrightarrow{EB} \rangle = -\frac{\frac{11}{4}}{\frac{\sqrt{17}}{2} × \frac{\sqrt{41}}{2}} = -\frac{11}{4} × \frac{4}{\sqrt{17} × \sqrt{41}}$，故B错误；对于C，$\overrightarrow{AE} · \overrightarrow{CD} = \frac{1}{2} × 1 - 2 × 4 = -\frac{15}{2}$，故C正确；对于D，$S_{\triangle AED} = \frac{1}{2} × |\overrightarrow{AD}| × |\overrightarrow{y_E}| = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$，故D错误. 故选AC.

5. [2024·天津一中月考]在等腰梯形$ABCD$中，已知$AB// DC$，$AB = 2$，$BC = 1$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，点$E$，$F$，$G$分别在线段$BC$，$CD$和$AB$上，且$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，则$\triangle GEF$为(C)

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.以上均不对

答案：
5.C【解析】以AB所在直线为$x$轴，AB的垂直平分线为$y$轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 因为$AB // DC$，$AB = 2$，$BC = 1$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$G(0,0)$，$C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$D(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$. 因为$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，所以$E(\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})$.因为$\overrightarrow{DF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，所以$F(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\cos \angle GEF = \frac{\overrightarrow{GE} · \overrightarrow{FE}}{|\overrightarrow{GE}| · |\overrightarrow{FE}|} = \frac{1}{2}$. 同理$\cos \angle GFE = \frac{1}{2}$，$\cos \angle EGF = \frac{1}{2}$，故在$\triangle GEF$中，$\angle GEF = \angle GFE = \angle EGF = 60^{\circ}$，所以$\triangle GEF$为等边三角形.

6. [2024·宁波镇海中学期末]如图，在直角梯形$ABCD$中，$AB// CD$，$\angle DAB = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$CD = 1$，$P$是线段$AD$（包括端点）上的一个动点。
(1)当$AD = \sqrt{3}$时，求$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{AB}$的值；
(2)在(1)的条件下，若$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PC} = \frac{5}{4}$，求$|\overrightarrow{AP}|$；
(3)求$|2\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}|$的最小值。

答案：
6.如图，以A为坐标原点，AB所在直线为$x$轴，AD所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.由题意得，$A(0,0)$，$B(2,0)$，所以$\overrightarrow{AB} = (2,0)$.
(1)因为$AD = \sqrt{3}$，所以$C(1,\sqrt{3})$，所以$\overrightarrow{AC} = (1,\sqrt{3})$，因此$\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AB} = 1 × 2 + \sqrt{3} × 0 = 2$.
(2)设$|\overrightarrow{AP}| = t$，则点P的坐标为$(0,t)(0 \leq t \leq \sqrt{3})$，则$\overrightarrow{PB} = (2,-t)$，$\overrightarrow{PC} = (1,\sqrt{3} - t)$，所以$\overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PC} = 2 × 1 + (-t) × (\sqrt{3} - t) = t^{2} - \sqrt{3}t + 2 = (t - \frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + \frac{5}{4} = \frac{5}{4}$（$0 \leq t \leq \sqrt{3}$），所以$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$，即$|\overrightarrow{AP}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
(3)设$C(1,c)(c ＞ 0)$，$P(0,m)(0 \leq m \leq c)$，则$\overrightarrow{PB} = (2,-m)$，$\overrightarrow{PC} = (1,c - m)$，所以$2\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = 2(2,-m) + (1,c - m) = (5,c - 3m)$，所以$|2\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}| = \sqrt{25 + (c - 3m)^{2}} \geq 5$，当且仅当$m = \frac{c}{3}$时，等号成立，因此$|2\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}|$的最小值为5.